Seja n a normal unitária exterior (normal para longe da origem) da casca parabólica

S : 4 x 2 + y + z 2 = 4 ,     y ≥ 0

E seja

F = - z + 1 2 + x i + t g - 1 y j + x + 1 4 + z k

Encontre o valor

∬ ∇ × F ∙ n d σ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A base da superfície no plano x z   ( y = 0 ) é a elipse

4 x 2 + z 2 = 4 → x 2 + z 2 4 = 1

Que pode ser parametrizada como

r θ = cos ⁡ θ i + 2 sen ⁡ θ k

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Esta é uma curva fechada, então podemos aplicar o Teorema de Stokes

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - ∮ F ∙ d r

Neste caso,

d r = d r d θ d θ = - sen ⁡ θ i + 2 cos ⁡ θ k d θ

Portanto, para x = cos ⁡ θ ,   y = 0 e z = 2 sen ⁡ θ , com isso,

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ

Passo 2

Vamos desenvolver esta fórmula

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ

Expandindo os termos

F ∙ d r = - 2 sen ⁡ θ + 1 2 + cos ⁡ θ - sen ⁡ θ + cos ⁡ θ + 1 4 + 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Desenvolvendo os termos

F ∙ d r = 2 se n 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ d θ

Logo, temos o seguinte resultado

F ∙ d r = 2 - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ d θ

Com isso, temos a seguinte integral

∮ F ∙ d r = ∫ 0 2 π 2 - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ   d θ

Separando as integrais

∮ F ∙ d r = 2 2 π - 0 + ∫ 0 2 π d cos ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ   + ∫ 0 2 π d s en ⁡ θ 2 + s en ⁡ θ  

Que tem como resultado

∮ F ∙ d r = 4 π + ln ⁡ 2 + cos ⁡ θ + ln ⁡ 2 + sen ⁡ θ 0 2 π = 4 π + ln ⁡ 2 + 1 + ln ⁡ 2 + 0 - ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 2 + 0

Logo,

∮ F ∙ d r = 4 π

Isto significa que

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - 4 π

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - 4 π

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