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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 8

Seja n a normal unitária exterior (normal para longe da origem) da casca parabólica

S : 4 x 2 + y + z 2 = 4 ,     y ≥ 0

E seja

F = - z + 1 2 + x i + t g - 1 y j + x + 1 4 + z k

Encontre o valor

∬ ∇ × F ∙ n d σ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A base da superfície no plano x z   ( y = 0 ) é a elipse

4 x 2 + z 2 = 4 → x 2 + z 2 4 = 1

Que pode ser parametrizada como

r θ = cos ⁡ θ i + 2 sen ⁡ θ k

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Esta é uma curva fechada, então podemos aplicar o Teorema de Stokes

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - ∮ F ∙ d r

Neste caso,

d r = d r d θ d θ = - sen ⁡ θ i + 2 cos ⁡ θ k d θ

Portanto, para x = cos ⁡ θ ,   y = 0 e z = 2 sen ⁡ θ , com isso,

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ

Passo 2

Vamos desenvolver esta fórmula

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ

Expandindo os termos

F ∙ d r = - 2 sen ⁡ θ + 1 2 + cos ⁡ θ - sen ⁡ θ + cos ⁡ θ + 1 4 + 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Desenvolvendo os termos

F ∙ d r = 2 se n 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ d θ

Logo, temos o seguinte resultado

F ∙ d r = 2 - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ d θ

Com isso, temos a seguinte integral

∮ F ∙ d r = ∫ 0 2 π 2 - sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ   d θ

Separando as integrais

∮ F ∙ d r = 2 2 π - 0 + ∫ 0 2 π d cos ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ   + ∫ 0 2 π d s en ⁡ θ 2 + s en ⁡ θ  

Que tem como resultado

∮ F ∙ d r = 4 π + ln ⁡ 2 + cos ⁡ θ + ln ⁡ 2 + sen ⁡ θ 0 2 π = 4 π + ln ⁡ 2 + 1 + ln ⁡ 2 + 0 - ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 2 + 0

Logo,

∮ F ∙ d r = 4 π

Isto significa que

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - 4 π

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - 4 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∬ S r o t F →. n →d s Onde F x , y , z = x - x 2 z ; y z 3 - y 2 ; x 2 y - x z e S é qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .
Calcule ∬_S r o t (vec F) . vec n d s , onde F (x , y , z) = (2 x y ; 0 ; - x z) e S é a superfície do elipsóide:(x^2)/(4) + (y^2)/(9) + (z^2)/(16) = 1
Calcule int_C F d r , Onde:F (x , y , z) = (e^(- y) - z e^(- x) ; e^(- z) - x e^(- y) ; e^(- x) - y e^(- z)) E C é a curva parametrizada:sigma (t) = ((ln (1 + t))/(ln 2) ; sin ((pi t)/(2)) ; (1 - e^t)
Calcule:int_C (2 x y z + sin x) d x + (x^2 z + e^y) d y + (x^2 y + (1)/(z)) d z Onde C é a curva parametrizada por: sigma (t) = (cos^3 t ; sin^2 t ; (t + 1)^2) , 0 = t = pi .
Calcule: ∫ C 4 x y - 3 x 2 z 2 d x + 2 x 2 d y - 2 x 3 zd z Onde C é a interseção da superfície: x 2 3 + y 2 4 + z 2 = 1 Com z ≥ 0 , com o plano y = 1 . Indique a orientação escolhida.