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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F ao redor da curva C na direção indicada.

6. F = x 2 y 3 i + j + z k

C: A interseção do cilindro x 2 + y 2 = 4 e o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 ,   z ≥ 0 , no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos calcular o rotacional de F

∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z M N P = i ∂ P ∂ y - ∂ N ∂ z - j ∂ P ∂ x - ∂ M ∂ z + k ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

Desenvolvendo os termos

∇ × F = i 0 - 0 - j 0 - 0 + k 0 - 3 x 2 y 2 = 0,0 , - 3 x 2 y 2

Determinando a equação da superfície limite resolvendo as equações das duas superfícies para z.

x 2 + y 2 + z 2 = 16

Como x 2 + y 2 = 4 , podemos fazer a substituição

4 + z 2 = 16 → z 2 = 12 → z = 12

Passo 2

Agora vamos calcular - M ' ∂ f ∂ x - N ' ∂ f ∂ x + P ' , note que ∇ × F = M ' , N ' , P ' e z = f ( x , y ) para a curva de superfície

- M ' ∂ f ∂ x - N ' ∂ f ∂ x + P ' = - 0 0 - 0 0 + - 3 x 2 y 2

Com isso, nós temos que

- M ' ∂ f ∂ x - N ' ∂ f ∂ x + P ' = - 3 x 2 y 2

Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral necessária diretamente.

∬ ∇ × F ∙ n   d S = ∬ - 3 x 2 y 2   d y d x

Passando para coordenadas polares

∬ ∇ × F ∙ n   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 3 r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sen 2 ⁡ θ ∙ r   d r d θ

Desenvolvendo os termos

∬ ∇ × F ∙ n   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 3 r 5 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d r d θ

Resolvendo a integral mais a direita, temos que

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 2 6 2 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = - 32 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ

Como sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 é igual a 1 2 sen ⁡ 2 θ , temos que

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 32 1 2 2 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ 2 θ d θ = - 8 ∫ 0 2 π 1 2 1 - cos ⁡ 4 θ   d θ

Desenvolvendo um pouco mais

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 4 ∫ 0 2 π d θ + 4 ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 θ d θ

Resolvendo as integrais, nós temos que

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 4 θ 0 2 π + 4 1 4 sen ⁡ 4 θ 0 2 π = - 4 2 π - 0 + sen ⁡ 8 π - sen ⁡ 0 = - 8 π - 0

Portanto,

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 8 π

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n   d S = - 8 π

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