Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 35
35) A circunferência de uma esfera mede , com erro possível de .
(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da superfície. Qual o erro relativo?
(b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo?
Passo 1
E aí! tudo certinho? 😎
Nesse problema temos uma esfera de raio com um possivel erro de .
A partir daí queremos estimar o erro máximo da area da superfície, o erro relativo e o erro máximo do volume e o erro relativo.
Tem ideia de como fazemos isso?
A area de uma esfera é dada por
E o erro máximo pode ser calculado a partir da relação
Já o volume é dado por
E o erro é calculado por
Veja só! 😉
Passo 2
Item a:
Se a medida de uma circunferência de raio é:
E sabemos que a área de uma superfície esférica de raio é dada por:
Vamos isolar nas duas equações para relacionar e :
Agora, vamos obter a relação diferencial derivando em função de .
Como o erro possível em é de então devemos considerar :
Logo, o erro máximo é de aproximadamente .
Já o erro relativo é dado por:
Logo, o erro relativo e de aproximadamente do valor real.
Tranquilo até aqui? 😐
Passo 3
Item B:
Se a medida de uma circunferência de raio é:
E sabemos que o volume da esfera de raio é dado por:
Vamos isolar nas duas equações para relacionar e :
Agora, vamos obter a relação diferencial derivando em função de :
Como o erro possível em é de então devemos considerar :
Logo, o erro máximo é de aproximadamente .
Já o erro relativo é dado por:
Logo, o erro relativo e de aproximadamente do valor real.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉
Resposta
(a) O erro máximo é de aproximadamente e o erro relativo e de aproximadamente do valor real.
(b) o erro máximo é de aproximadamente e o erro relativo e de aproximadamente do valor real.