Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 38

38. Para a circunferência mostre que a reta tangente em todo ponto da curva é perpendicular à reta que passa por e pelo centro da circunferência

Passo 1

Neste caso, primeiro devemos determinar o coeficiente angular da reta tangente a curva , depois determinar o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto dado e pelo centro da circunferência para então comparar os seus coeficientes angulares e mostrar que a reta é perpendicular.

Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

Passo 3

Aplicando o ponto dado (x1,y1) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto

Temos

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

.(x) + b

Passo 4

O coeficiente angular da reta que passa pelo ponto (x1,y1) e pelo centro da circunferência de equação dada no enunciado pode ser determinada da seguinte forma

Passo 5

Devemos saber que , para duas retas serem perpendiculares o produto entre seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1. Assim, para mostrar o que o enunciado pede basta que aconteça isso. Fazendo o produto dos coeficientes angulares temos

Sendo assim, podemos afirmar que a reta tangente em todo ponto (x1,y1) da curva é perpendicular à reta que passa por (x1,y1) e pelo centro da circunferência.