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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 47

47. Dada f x = x p ( 1 - x ) q , onde p e q são inteiros positivos maiores do que 1, prove cada uma das seguintes afirmativas: (a) se p for par, f terá um valor mínimo relativo em 0; (b) se q for par, f terá um valor mínimo relativo em 1; (c) f terá um valor máximo relativo em p / ( p + q ) , se p e q forem pares ou ímpares.

Passo 1

Vamos testar as afirmações de cada item para ver os valores máximos e mínimos.

Passo 2

Para adiantar, vamos precisar da derivada da função f ( x ) , então usando regra do produto:

f ' x = p x p - 1 ( 1 - x ) q - q x p ( 1 - x ) q - 1

Colocando em evidência x p - 1 1 - x q - 1 :

x p - 1 1 - x q - 1 p 1 - x - q x

x p - 1 1 - x q - 1 [ p - p + q x ]

Vamos usar isso nos itens, fica mais fácil de avaliar.

Passo 3

(a) se p for par, f terá um valor mínimo relativo em 0

p sendo par, temos p - 1 ímpar e 0 é um número crítico, porque f ' 0 = 0 , certo?

Agora x p - 1 < 0 para x < 0 e x p - 1 > 0 para x > 0 . E para x bem próximo de 0, 1 - x q - 1 > 0 e p - p + q x > 0 .

Então f ' muda de negativa pra positiva em x = 0 . Isso nos diz que f tem um valor mínimo em 0, show?

Passo 4

b) se q for par, f terá um valor mínimo relativo em 1

Se q for par, q - 1 é ímpar e 1 é um número crítico pois f ' 1 = 0 , mesmo raciocínio do anterior.

Agora, 1 - x q - 1 > 0 pra x < 1 e 1 - x q - 1 < 0 pra x > 1 . E quando x for bem próximo de 1, x p - 1 > 0 e p - p + q x < 0 .

Então f ' muda de negativa pra positiva em x = 1 . Isso nos diz que f tem um valor mínimo em 1, show?

Passo 5

c) f terá um valor máximo relativo em p / ( p + q ) , se p e q forem pares ou ímpares.

Com p e q positivos, p / ( p + q ) é um valor crítico e 0 < p p + q < 1 . Para x entre 0 e 1, x p - 1 e 1 - x q - 1 são positivos. Para x < p p + q , p - p + q x > 0 e x > p p + q , p - p + q x < 0 , foi?

Então f ' muda de positiva pra negativa em x = p p + q , comprovado que f tem um valor máximo em x = p p + q .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que, para todo x0 , x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !sen ⁡ x Mostre que, para todo x ≠ 0 , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 !x 7 7 ! Generalize tal resultado.