Siga as instruções do Exercício 1(a), mas use x₁ = 9 como a aproximação inicial para encontrar a raiz s .

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão fala pra gente seguir as instruções do exercício anterior para encontrar a raiz s no gráfico dado por:

Teremos que supor que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz s da equação  

f   x = 0

Mas agora usando

x 1 = 9

como aproximação inicial.

O que teremos que fazer aqui desenhar as tangentes que são usadas para encontrar x 2 e x 3 , e estime os valores numéricos de x 2 e x 3 .

Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente L à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 .

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção r da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fizemos que a sequência converge para r .

Assim:

x n   = r

Perfeito.

Então, vamos nessa.

Passo 2

Podemos esboçar no gráfico as retas tangentes que precisamos.

Começando com x 1 = 9 , teremos:

A linha tangente em x = 9 intercepta o eixo x em x ≈ 6,0

Assim, faremos x 2 ≈ 6,0 .

Agora a nossa nova linha tangente em x = 6,0 intercepta o eixo x em x ≈ 8,0 ,

então x 3 ≈ 8,0 .

Como não temos a função em mãos para usar a definição, fizemos a estimativa usando o prolongamento das retas.

Resposta

x 2 ≈ 6,0

x 3 ≈ 8,0

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