Para cada aproximação inicial, determine graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para a função cujo gráfico é dado.

e) x₁ = 5

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão dá pra gente o seguinte gráfico:

E pede pra gente determinar graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para essa função com:

x 1 = 5

Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta L tangente à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 .

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fazemos com que a sequência vá para r .

Assim:

lim n → ∞ ⁡ x n = r

Show. Então pegaremos essa ideia e aplicaremos graficamente para ver se o método nos levará para a raiz. Vem ver isso acontecendo.

Passo 2

com x 1 = 5 , traçando a reta tangente ao gráfico dado, teremos:

Agora faremos a mesma coisa para o novo ponto x 2 e achar x 3 :

O x 3 já se aproxima muito da raiz, e neste caso o método é bem sucedido!

Resposta

O método é bem sucedido.

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