A figura mostra o gráfico da função f . Suponha que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz r da equação f(x) = 0 com x₁ = 1 como aproximação inicial.

(a) Desenhe as tangentes que são usadas para encontrar x_2 e x3 , e estime os valores numéricos de x₂ e x₃ .

(b) Uma melhor aproximação seria x₁ = 5 ? Explique.

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão dá pra gente o gráfico de uma função f , dado por:

Teremos que supor que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz r da equação  

f   x = 0

com

x 1 = 1

como aproximação inicial.

O que teremos que fazer aqui é:

No item (a), desenhar as tangentes que são usadas para encontrar x 2 e x 3 , e estime os valores numéricos de x 2 e x 3 .

Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente L à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 .

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção r da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fizemos que a sequência converge para r .

Assim:

lim n → ∞ ⁡ x n = r

Perfeito.

E no item (b), precisamos dizer se uma melhor aproximação seria x 1 = 5 . Devemos explique nossa resposta.

Então, vamos nessa.

Passo 2

Item (a). Desenhando a reta tangente ao gráfico da função no ponto x 1 = 1 , teremos:

Veja que essa reta tangente em x = 1 intercepta o eixo x em x ≈ 2,3

Então, traçando outra reta tangente em x 2 ≈ 2,3 , vemos que ela intercepta o eixo x em x ≈ 3 , então x 3 = 3 .

Passo 3

No item (b), temos que se x 1 = 5 não teríamos uma melhor primeira aproximação que x 1 = 1 já que a linha tangente é quase horizontal. E isso com que sua interseção com o eixo x ficasse muito distante da realidade.

Na verdade, a segunda aproximação para x 1 = 5 parece estar à esquerda de x = 1 .

Resposta

a)

x 2 = 2,3

x 3 = 3

b)

Se x 1 = 5 não teríamos uma melhor primeira aproximação que x 1 = 1 já que a linha tangente é quase horizontal. E isso com que sua interseção com o eixo x ficasse muito distante da realidade.

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