Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 3
Suponha que a reta tangente à curva no ponto tenha a equação.
Se for usado o método de Newton para localizar uma raiz da equação com a aproximação inicial , encontre a segunda aproximação .
Passo 1
E aí, galera. Tudo tranquilo? O enunciado pede pra gente usar o método de Newton para achar a segunda aproximação para a raiz da equação
com a aproximação inicial .
Mas o que são esses termos e , e o que é o Método de Newton? Vamos relembrar rapidinho 😊!
O método é uma técnica iterativa super útil para encontrar as raízes de uma equação, ou seja, os valores de onde o gráfico da função cruza o eixo . Mas, como a gente faz isso?
- Começamos com um chute inicial, uma estimativa , que a gente escolhe usando um palpite ou olhando um gráfico da função.
- A partir da reta tangente à curva no ponto , encontramos uma nova estimativa como sendo o ponto de interseção da reta tangente com o eixo
- Repetimos o processo a partir da nova estimativa encontrada.
A ideia por trás do método é a de que a reta tangente é uma aproximação linear da curva, e a intersecção dessa reta com o eixo nos dá uma nova estimativa que deve estar mais perto da raiz verdadeira.
Viu, foi rapidinho mesmo 😉! Mas para sabermos o que precisamos fazer para resolver a questão, vamos usar termos matemáticos, ok?
Utilizando o Método de Newton para encontrar a raiz de uma equação , escolhemos um chute inicial e a partir dele formamos uma sequência
e assim por diante, de forma que:
Então, se essa sequência convergir, o limite será exatamente a raiz da equação .
Bem, como o enunciado pede para encontrarmos apenas a segunda aproximação
então precisamos ter uma estimativa inicial e o valor da função e da sua derivada no ponto .
Como temos que usar como aproximação inicial, e sabemos que
então só precisamos encontrar a derivada de e, em seguida, encontrar o valor de através da fórmula dada pelo Método de Newton. Faremos isso nos próximos passos!
Passo 2
Como a função é um polinômio, vamos derivá-la utilizando a Regra da Soma e, para cada um dos seus termos, vamos utilizar Regra da Potência.
Relembrando a Regra da Potência:
Dessa forma, a primeira derivada é dada por
A derivada de é constante, então em qualquer ponto do domínio ela valerá , inclusive na aproximação inicial
Passo 3
Sabemos que é dado da seguinte maneira:
Já temos os valores para e para , agora vamos encontrar o valor de
Como então
Aqui, também poderíamos pensar o seguinte: temos a informação que o ponto está no gráfico de . Como os pontos do gráfico são da forma , então
Assim,
ou seja,
Ufa!
Passo 4
E se eu te falar que poderíamos ter resolvido essa questão com uma única conta 😬?
Pensa só: Lembrado que a segunda aproximação é dada pela interseção da reta tangente com o eixo , então basta igualarmos a equação da reta tangente com o eixo .
Espia só:
logo, vale que
.
Mas a ideia desse exercício era você se familiarizar um pouco mais com o uso do Método de Newton, então por isso fizemos da outra forma 😉.
Resposta
Usando o método de Newton encontramos que