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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 9

Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices - 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1,1 e - 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O sentido que devemos adotar é o anti-horário, ou seja, A → B → C → A

Passo 2

Seguindo a sugestão, vamos primeiro verificar as integrais ∬ B ∂ Q ∂ x d x d y e ∬ B ∂ P ∂ y d x d y

Assim vamos fazer

∬ B ∂ Q ∂ x d x d y = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∂ Q ∂ x d x d y

Onde pelo teorema fundamental do Cálculo, temos que

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∂ Q ∂ x d x d y = ∫ - 1 1 Q x , y - 1 1 d y = ∫ - 1 1 Q 1 , y - Q - 1 , y d y

Segue o mesmo para P , ficando com

∬ B ∂ P ∂ y d x d y = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∂ P ∂ y d y d x = ∫ - 1 1 P x , 1 - P x , - 1 d y

Passo 3

O que queremos fazer agora é calcular com a integrais de linhas. Assim fazemos

∫ γ Q d y = ∫ γ 1 Q d y + ∫ γ 2 Q d y + ∫ γ 3 Q d y + ∫ γ 4 Q d y

Que dada a parametrização γ 1 t = t , - 1 , γ 2 t = 1 , t , γ 3 t = - t , 1 e γ 4 t = - 1 , - t

Com - 1 ≤ t ≤ 1

Já vemos que para γ 1 e γ 3 , temos que as integrais são nula, visto que d y = 0

Ai teremos então

∫ γ Q   d y = ∫ - 1 1 Q 1 , t d t - ∫ - 1 1 Q - 1 , - t d t

Agora olhando pra nossas retas, fazemos o seguinte. Para a primeira integral fazemos y = t e para a segunda integral temos que y =   - t

∫ γ Q d y = ∫ - 1 1 Q 1 , y - Q - 1 , y d y

E para P ( x , y )

∫ γ P d x = ∫ γ 1 P d x + ∫ γ 2 P d x + ∫ γ 3 P d x + ∫ γ 4 P d x

Olhando pra nossa parametrização, aqui teremos que γ 2 e γ 4 são nossas integrais nula, visto que d x = 0

Assim teremos

∫ γ P d x = ∫ - 1 1 P t , - 1 d t - ∫ - 1 1 P - t , 1 d t

Seguindo a mesma lógica do anterior, teremos

∫ γ P d x = ∫ 0 1 P x , - 1 d x - ∫ 0 1 P x , 1 d x

Que colocando tudo em uma única integral, ficamos com

∫ γ P d x =   - ∫ 0 1 P x , 1 - P x , - 1 d x

Passo 4

Assim temos que

∫ γ P d x + Q d y = ∫ 0 1 Q 1 , y - Q - 1 , y d y - ∫ 0 1 P x , 1 - P x , - 1 d x  

E

∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x   d y = ∫ 0 1 Q 1 , y - Q - 1 , y d y - ∫ 0 1 P x , 1 - P x , - 1 d x    

Assim temos que

∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x   d y

Como queríamos mostrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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