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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 30

Circunferências dos círculosComo é usual diante de uma nova fórmula, é uma boa ideia testá-la em objetos familiares para ter a certeza de que ela fornece resultados consistentes com a experiência passada. Utilize a fórmula para comprimento na Equação 3 para calcular as circunferências dos círculos a seguir ( a > 0 ) .

  1. r = a
  2. r = a cos ⁡ θ
  3. r = a s e n   θ

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

  1. Vamos começar encontrando a derivada de r

    2. d r d θ = d d θ a = 0

    Agora só aplicar na fórmula, sabendo que os limites do círculo vão de 0 a 2 π :

    L = ∫ 0 2 π a 2 + 0 2 d θ

    L = a θ 0 2 π = 2 π a

    E prontinho, agora só fazer os mesmos passos para b e c.

    Passo 2

  2. Agora como temos as funções cos e sem para os itens b e c, os limites vão apenas até π , onde temos as partes positivas das funções.

    3. d r d θ = d d θ acos ⁡ θ = - a s e n   θ

    L = ∫ 0 π acos ⁡ θ 2 + - asen ⁡ θ 2 d θ

    L = ∫ 0 π a 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ d θ

    L = ∫ 0 π a cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ d θ

    Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

    L = ∫ 0 π a d θ

    L = a θ 0 π

    L = π a

    Passo 3

d r d θ = d d θ a sen ⁡ θ = acos ⁡ θ

L = ∫ 0 π a sen ⁡ θ 2 + acos ⁡ θ 2 d θ

L = ∫ 0 π a 2 sen 2 ⁡ θ + a 2 cos 2 ⁡ θ d θ

L = ∫ 0 π a sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

L = ∫ 0 π a d θ

L = a θ 0 π

L = π a

Resposta

  1. 2 π a
  2. π a
  3. π a

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Encontre a área da regiao que e limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = θ 2,0 ≤ θ ≤ π / 4
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