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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 21

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A espiral r = θ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 5 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ θ 2 = 2 θ

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ 0 5 θ 2 2 + 2 θ 2 d θ = ∫ 0 5 θ 4 + 4 θ 2 d θ

L = ∫ 0 5 θ θ 2 + 4   d θ

Vamos aplicar o método da substituição, tomando u = θ 2 + 4 ⇒ d u = 2 θ d θ .

Os limites se tornam u = 4 , para θ = 0 , e u = 9 , para θ = 5 .

L = ∫ 4 9 1 2 u   d u = 1 2 2 3 u 3 2 4 9

L = 19 3

Bora pra próximo.

Resposta

L = 19 3

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