Encontre a área da regiao que e limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = θ^2, 0 ≤ θ ≤ π/4

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ

onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

No caso, como temos a forma da integral apresentada, basta sabermos a função a ser integrada e seus limites para realizarmos o cálculo e obter o resultado pedido pela questão.

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos montar nossa integral.

Temos que a função apresentada pela questão é r θ = θ 2 .

O intervalo de integração é dado por a , b = [ 0 , π / 4 ] .

A integral a ser resolvida, portanto, é dada por

∫ 0 π 4 1 2 θ 2 2   d θ = ∫ 0 π 4 θ 4 2   d θ

Passo 3

Teremos então

∫ 0 π 4 θ 4 2   d θ

Para resolvermos essa integral, basta calcularmos da forma que faríamos em uma integral usual em coordenadas cartesianas.

Pela regra de integração de polinômios

∫ 0 π 4 θ 4 2   d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 θ 4   d θ = 1 2 θ 5 5 0 π / 4

Substituindo os limites de integração

1 10 π 5 4 5 = π 5 10240

Resposta

Logo, a resposta é

π 5 10240

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados