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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 2

Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = e θ 2   ,   π ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ

onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

No caso, como temos a forma da integral apresentada, basta sabermos a função a ser integrada e seus limites para realizarmos o cálculo e obter o resultado pedido pela questão.

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos montar nossa integral.

Temos que a função apresentada pela questão é r θ = e θ / 2 .

O intervalo de integração é dado por a , b = [ π , 2 π ] .

A integral a ser resolvida, portanto, é dada por

∫ π 2 π 1 2 e θ / 2 2   d θ = ∫ π 2 π e θ 2   d θ

Passo 3

Teremos então

∫ π 2 π e θ 2   d θ

Para resolvermos essa integral, basta calcularmos da forma que faríamos em uma integral usual em coordenadas cartesianas.

Pela regra de integração de uma função exponencial

∫ π 2 π e θ 2   d θ = 1 2 e θ π 2 π

Substituindo os limites de integração

1 2 e θ π 2 π = 1 2 e 2 π - e π

Com isso conseguimos chegar ao resultado, pessoal!

Resposta

Logo, a resposta é

1 2 e 2 π - e π

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Use a fórmula 10.2 . 7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ,a ≤ θ ≤ b (Onde f ' é contínua e 0 ≤ ab ≤ π ) em torno do eixo polar é S = ∫ a b 2 π r s i n s i
Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.57. x = 1 + t e t ,y = t 2 + 1 , 0 ≤ t ≤ 1
Se a curva x = t + t 3y = t - 1 t 2 1 ≤ t ≤ 2 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante com precisão de três casas decimais.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .66. x = e t - t , y = 4 e t 2 ,0 ≤ t ≤ 1
Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.59. x = t 3 ,y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1