24. Um cocho tem 6   m de comprimento, e suas extremidades tem a forma de triângulos isósceles com 1   m de base e 50   c m de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 1,2   m 3 / m i n , quão rápido estará se elevando o nível da água quando ela tiver 30   c m de profundidade?

Passo 1

Opa, bora lá! Essa questão fala de um cocho enchendo de água. Se você não sabe o que é um cocho ele é um recipiente que é usando pra vacas e bois se alimentarem ou beberem água. O nosso tem esse formato aqui:

Temos um prisma triangular reto, cujo volume se dá pela área da base vezes a altura, então:

V = A Δ × h

Queremos descobrir:

d h d t

ou seja, a taxa de variação da altura da água quando ela atinge 30   c m   =   0,3   m de profundidade.

Passo 2

A seção transversal é um triângulo isósceles e, portanto, conforme a altura da água cresce, a base da superfície da água também cresce proporcionalmente.

Por semelhança de triângulos:

b h 1 = h 0.5

b h = 2 h

A área da seção transversal:

A = 1 2 ⋅ b h ⋅ h = 1 2 2 h ⋅ h = h 2

Volume do cocho com comprimento L (supondo que o comprimento é L metros):

V = A ⋅ L = h 2 ⋅ L

Derivando ambos:

d V d t = 2 h ⋅ L ⋅ d h d t

Isolando:

d h d t = d V d t 2 h ⋅ L

Substituindo:

d h d t = 1.2 2 ⋅ 0.3 ⋅ 6

d h d t = 0,33 3   m / m i n

Resposta

A altura do nível da água, sobe a uma razão de 0,33 3   m / m i n  

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