Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 33cd
Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a
taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por ou, equivalentemente,
calculada em x = x1.
33. O rendimento anual bruto de uma empresa t anos a partir de 1º de janeiro de 1988 é p milhões e
c) Ache a taxa em que o rendimento bruto deveria crescer em 1º de janeiro de 1994;
d) Ache a taxa antecipada de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de janeiro 1994 até 0,1 por cento.
Passo 1
A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.
Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado:
Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “c” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.
Por isso a aproximação de até 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.
Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1988, logo até o dia 1º de janeiro de 1994 só se passaram 6 anos, assim t = 6 será o instante avaliado.
Passo 2
Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:
Passo 3
Agora substituindo t = 6 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:
Passo 4
Agora para resolver o item “d” vamos calcular somente p(6), já que o p’(6) já foi calculado no item “c”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:
Substituindo na fórmula do enunciado:
Resposta
- A taxa em que o rendimento bruto crescerá em 1º de janeiro de 1994 será de 6,8 milhões ao ano.
- A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1994 será de 18,7%.