Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 3
Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for ?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão nos diz que cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de cm/s, e pede pra gente dizer com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for .
E para isso, precisamos lembrar que a taxa de variação nada mais é que a derivada da função. Ou seja, o problema nos conta que o lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de , essa é a derivada do lado.
Mas como precisamo da taxa da área, teremos que relacionar a área em função com seu comprimento.
Sabemos que se é o tamanho dos lados do quadrado, então a área é dada por:
E vamos lá.
Passo 2
Vamos chamar de a taxa com qual o lado aumenta, pois é essa a velocidade com qual o lado do quadrado está aumentando.
Se varia com o tempo e a área varia em função de então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo. Sendo:
Quando a área é :
Se aumenta a uma taxa de cm/s, então . Assim:
Logo, a área do quadrado nesse instante varia a uma razão de .
Resposta
A área do quadrado nesse instante varia a uma razão de .