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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 3

Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16   c m 2 ?

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão nos diz que cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s, e pede pra gente dizer com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16   c m 2 .

E para isso, precisamos lembrar que a taxa de variação nada mais é que a derivada da função. Ou seja, o problema nos conta que o lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 c m / s , essa é a derivada do lado.

Mas como precisamo da taxa da área, teremos que relacionar a área em função com seu comprimento.

Sabemos que se x é o tamanho dos lados do quadrado, então a área A x é dada por:

A = x 2

E vamos lá.

Passo 2

Vamos chamar de d V d t a taxa com qual o lado aumenta, pois é essa a velocidade com qual o lado do quadrado está aumentando.

Se x varia com o tempo t e a área varia em função de x então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo. Sendo:

A = x 2

d V d t = 2 x ⋅ d x d t

Quando a área é 16   c m 2 :

A = 16 = x 2 ⇒ x = 4

Se x aumenta a uma taxa de 6 cm/s, então d x d t = 6 . Assim:

d V d t = 2 x ⋅ d x d t

d V d t = 2 4 ⋅ 6 = 48   c m 2 / s

Logo, a área do quadrado nesse instante varia a uma razão de 48   c m 2 / s .

Resposta

A área do quadrado nesse instante varia a uma razão de 48   c m 2 / s .

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