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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 37

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

37. y = x 2 - 2 x + 2 . e 5 x 2

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

y = g ( x ) . h ( x )

∴ y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g x = ( x 2 - 2 x + 2 )

h x = e 5 x 2  

E uma outra coisa importante é sobre a derivada de uma função exponencial. Uma derivada desse tipo é dada pela regra:

( a f ( x ) ) ' = a f x . l n ⁡ a . ( f ( x ) ) '

Sabendo dessas informações, agora conseguimos resolver a derivada tranquilo. Bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos g ' precisaremos utilizar apenas a regra da potenciação, que é a regra mais simples de derivada, beleza? Utilizando-a, teremos:

g x ' = ( 2 . x 2 - 1 - 2 + 0 )

∴ g x ' = ( 2 x - 2 )

Passo 3

Agora que encontramos g ' , vamos utilizar a regra para derivar uma função exponencial para encontrarmos h ' , beleza?

h x ' = e 5 x 2 . ln ⁡ e . 5 2

∴ h x ' = 5 2 . e 5 x 2

Passo 4

Agora que já temos as derivadas de g e h , basta substituirmos na regra do produto, se liga:

y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '  

y ' = 2 x - 2 . e 5 x 2 + x 2 - 2 x + 2 . 5 2 . e 5 x 2

∴ y ' = 2 x - 2 . e 5 x 2 + 5 2 x 2 - 2 x + 2 . e 5 x 2

Resposta

y ' = 2 x - 2 . e 5 x 2 + 5 2 x 2 - 2 x + 2 . e 5 x 2

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Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.30. y =1 x . s e n - 5 x - x 3 . c o s ³ x ³
x e y são funções de uma terceira variável t. Se 2 x + 3 t = 8 e d y d t = 2 , ache d x d t
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 8 )S e y t gx + 1 = 4 e d y d t = - 4 ,a c h e d x d t q u a n d ox = π .
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 6 )S e x ² + y ² = 25 e d x d t = 5 ,a c h e d y d t q u a n d oy = 4 . ² ²