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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 40

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

40. k x = x 2 . s e c ⁡ ( 1 x )

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

k ( x ) = f ( x ) . g ( x )

∴ ( k x ) ' = f x ' . g x + f x . ( g x ) '

Escrevendo quem seria f e quem seria g , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

f x = x ²

g x = s e c ⁡ ( x - 1 )

Passo 2

Para encontrarmos f ' basta que utilizemos a regra da potenciação, beleza? Se liga!

f x ' = 2 . x 2 - 1

∴ f x ' = 2 x

Passo 3

Já para encontrarmos g ' o buraco é um pouquinho mais embaixo, mas nada demais. A regra que utilizaremos é a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

( g x ) ' = d g d u × d u d x

u =   x - 1 ⇒   d u d x = - x - 2

g u = sec ⁡ u ⇒ d g d u = sec ⁡ u . t g ( u )

( g x ) ' = sec ⁡ u . t g u . ( - x - 2 )

∴ g x ' = - sec ⁡ x - 1 . t g x - 1 . x - 2

Passo 4

Agora sim! Encontramos sem muitos problemas f ' e g ' , portanto, basta agora que coloquemos os resultados na regra do produto que discutimos lá em cima. Se fizermos isso, teremos:

k x ' = f x ' . g x + f x . g x '

k x ' = 2 x . sec ⁡ x - 1 + x 2 . ( - sec ⁡ x - 1 . t g x - 1 . x - 2 )

Fazendo as simplificações, teremos:

k x ' = 2 x . sec ⁡ x - 1 - sec ⁡ x - 1 . t g x - 1

Resposta

k x ' = 2 x . sec ⁡ x - 1 - sec ⁡ x - 1 . t g x - 1

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