Estabeleça as equações paramétricas para a reta tangente a curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = cos ⁡ t ,   y = 3 e 2 t ,   z = 3 e - 2 t           ( 1,3 , 3 )

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Para encontrarmos a equação paramétrica da reta tangente precisamos primeiramente saber quem é nossa equação vetorial. Neste caso é:

r → t = cos ⁡ t , 3 e 2 t , 3 e - 2 t

Desta forma a equação paramétrica da reta tangente é dada por um ponto e por um vetor pertencente a essa reta.

x t = t a + a 0

y t = t b + b 0

z t = t c + c 0

Precisamos então do vetor diretor:

r ' t = a , b , c

No ponto de tangencia, e o ponto de tangencia:

a 0 , b 0 , c 0

O ponto pertencente a essa reta já é dado:  

( 1,3 , 3 )

Já o vetor nos precisamos encontrar e ele é dado pela derivada da equação vetorial da superfície.

Passo 2

Desta forma a derivada de uma equação vetorial é a derivada de cada componente.

Derivada da componente i ^ :

d d t cos ⁡ t = - s e n   t

Derivada da componente j ^ :

d d t 3 e 2 t = 6 e 2 t

Derivada da componente k ^ :

d d t 3 e - 2 t = - 6 e - 2 t

Portanto r → ' ( t ) é:

r → ' t = - s e n   t , 6 e 2 t , - 6 e - 2 t

Passo 3

O ponto dado ( 1,3 , 3 ) pertencente a reta tangente corresponde ao parâmetro t = 0 , aplicando em r → ' t temos:

r → ' 0 = 0,6 , - 6

Desta forma a equação paramétrica da reta tangente é:

x t = t a + a 0

y t = t b + b 0

z t = t c + c 0

Substituindo o que encontramos:

x = 1

y = 3 + 6 t

z = 3 - 6 t

Passo 4

O gráfico da curva com a reta tangente é encontrado utilizando o GeoGebra 3D, para melhor visualização nossa:

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente é:

x = 1

y = 3 + 6 t

z = 3 - 6 t

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