(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Determine r'(t) .

(c) Desenhe o vetor de posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t.

r(t) = (1 + t) * i^ + t^2 * j^, t = 1

Passo 1

Olá, meu brother. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Temos a curva parametrizada:

r → t = 1 + t i ^ + t 2 j ^

E precisamos realizar 3 coisinhas, esboçar o gráfico, determinar a derivada da curva, e desenhar o vetor posição e vetor tangente para quando t = 1 .

Para esboçarmos o gráfico da equação vetorial podemos montar uma tabela para nos ajudar.

Já o cálculo de r → ' ( t ) temos que derivar cada coordenada da equação vetorial r → ( t ) . Em relação ao desenho do vetor, iremos colocar o valor de t nas equações r t e r ' t e teremos então as coordenadas de r x e r y , começaremos a desenhar o nosso vetor a partir do ponto t = 1 para o vetor tangente r ' 1 e para o vetor posição nós começamos o seu desenho a partir da origem.

Passo 2

a) Montando a tabela para plotar o gráfico:

O gráfico é construído com os valores de t e seus respecitivos valores das coordenadas r x e r y , juntando os pontos, podemos notar que a nossa figura é:

Passo 3

b) A derivada de r → t = 1 + t i ^ + t 2 j ^ é:

Derivada da componente i ^ :

d d t 1 + t = 1

Derivada da componente j ^ :

d d t t 2 = 2 t

Desta forma r → ' ( t ) é:

r → ' t = 1 ,   2 t

Passo 4

c) O vetor posição é um vetor que parte da origem e no nosso caso queremos que ele vá até o parâmetro t = 1 .

O vetor tangente é um vetor dado pela derivada da equação vetorial, e queremos o vetor tangente ao parâmetro t = 1 .

r → ' t = 1 ,   2 t

r ' 1 = 1,2

O ponto que corresponde a t = 1 , é:

r → t = 1 + t i ^ + t 2 j ^

r → 1 = 2,1

Desta forma os vetores são:

Veja então que para r 1 temos 2 unidades na direção x e uma unidade na direção y , a construção desse vetor se inicia na origem e vai até as suas unidades de x e y .

Para r ' 1 temos a mesma ideia, porém aqui nós iniciamos a construção do vetor no ponto de t , e no nosso caso t = 1 .

Resposta

b)   r → ' t = 1 ,   2 t

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