(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Determine r'(t) .

(c) Desenhe o vetor de posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t.

r(t) = 2 * sen(t) * î + 3 * cos(t) * ĵ, t = pi/3

Passo 1

Hey, brother! Vamos resolver juntos essa atividade, confia que você vai aprender tudo hoje!

A gente tem a equação:

r → t = 2 s e n   t i ^ + 3 cos ⁡ t j ^

E devemos: Esboçar o gráfico dela, determinar a sua derivada e por último devemos esboçar o vetor posição no ponto:

t = π 3

E também o vetor tangente r ' t nesse mesmo ponto.

Para esboçarmos o gráfico da equação vetorial podemos montar uma tabela para nos ajudar.

Já o cálculo de r → ' ( t ) temos que derivar cada coordenada da equação vetorial r → ( t ) . Em relação ao desenho do vetor, iremos colocar o valor de t nas equações r t e r ' t e teremos então as coordenadas de r x e r y , começaremos a desenhar o nosso vetor a partir do ponto t = π 3 para o vetor tangente r ' π 3   e para o vetor posição nós começamos o seu desenho a partir da origem.

Passo 2

a) Montando a tabela para plotarmos o gráfico:

O gráfico é construído com os valores de t e seus respecitivos valores das coordenadas r x e r y , juntando os pontos, podemos notar que a nossa figura é:

Passo 3

b) A derivada de r → t = 2 s e n   t i ^ + 3 cos ⁡ t j ^ é:

Derivada da componente i ^ :

d d t 2   s e n   t = 2 cos ⁡ t

Derivada da componente j ^ :

d d t 3 cos ⁡ t = - 3   s e n   t

Desta forma r → ' ( t ) é:

r → ' t = 2 cos ⁡ t ,   - 3   s e n   t

Passo 4

c) O vetor posição é um vetor que parte da origem e no nosso caso queremos que ele vá até o parâmetro t = π 3 .

O vetor tangente é um vetor dado pela derivada da equação vetorial, e queremos o vetor tangente ao parâmetro t = π 3   .

O ponto que corresponde a t = π 3 , é

r → π / 3 = 3 , 3 / 2  

E para a o nosso vetor tangente, temos:

r → ' t = 2 cos ⁡ t ,   - 3   s e n   t

r → ' π 3 = 1 ,   - 3 ⋅ 3 2

Desta forma os vetores são:

Veja aqui que temos para o vetor posição, r → π / 3 = 3 , 3 / 2  

3 unidades no eixo x e 3 2 unidades no eixo y , esse vetor é então desenhado da origem até o ponto 3 , 3 2 .

Para o vetor tangente:

r → ' π 3 = 1 ,   - 3 ⋅ 3 2

O comportamento é semelhante, porém agora começamos a desenhar o vetor no ponto π 3 .

Resposta

b)   r → ' t = 2 cos ⁡ t ,   - 3   s e n   t

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