Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 31
As curvas e se encontram na origem. Determine o ângulo de interseção destas com a precisão de graus.
Passo 1
Olá, meu querido e amado amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui a gente tem duas curvas parametrizadas:
E
E queremos saber o ângulo da intersecção entre elas.
Lembre-se que o ângulo entre duas curvas em seu ponto de intersecção é o ângulo entre seus vetores tangentes nesses pontos.
O ângulo entre as duas curvas pode ser calculado a partir do ângulo entre os vetores pertencente a reta tangente de cada curva.
Esses vetores são os vetores tangente a cada superfície aplicados ao ponto de interseção que neste caso é .
Para calcular o ângulo entre dois vetores podemos utilizar o produto escalar.
Onde é o ângulo entre os dois vetores.
Passo 2
O vetor tangente da curva é:
Isso é, a derivada da equação.
Fazendo temos:
O vetor tangente da curva 2 é:
Fazendo temos:
Passo 3
Desta forma podemos calcular o ângulo a partir do produto escalar.
Substituindo os valores que encontramos:
Temos então um produto escalar:
Calculando o produto dos módulos:
Resposta
Ângulo entre as duas curvas que se cruzam na origem: