As curvas r → 1 t = t , t 2 , t 3 e r → 2 t = s e n   t , s e n   2 t , t se encontram na origem. Determine o ângulo de interseção destas com a precisão de graus.

Passo 1

Olá, meu querido e amado amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem duas curvas parametrizadas:

r → 1 t = t , t 2 , t 3

E

r → 2 t = s e n   t , s e n   2 t , t

E queremos saber o ângulo da intersecção entre elas.

Lembre-se que o ângulo entre duas curvas em seu ponto de intersecção é o ângulo entre seus vetores tangentes nesses pontos.

O ângulo entre as duas curvas pode ser calculado a partir do ângulo entre os vetores pertencente a reta tangente de cada curva.

Esses vetores são os vetores tangente a cada superfície aplicados ao ponto de interseção que neste caso é ( 0,0 , 0 ) .

Para calcular o ângulo entre dois vetores podemos utilizar o produto escalar.

r → 1 ' ( 0 ) ∙ r → 2 ' ( 0 ) = r → 1 ' ( 0 ) r → 1 ' ( 0 ) cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os dois vetores.

Passo 2

O vetor tangente da curva 1 é:

r → 1 t = t , t 2 , t 3

r → 1 ' t = 1,2 t , 3 t 2

Isso é, a derivada da equação.

Fazendo t = 0 temos:

r → 1 ' 0 = 1,0 , 0

O vetor tangente da curva 2 é:

r → 2 t = s e n   t , s e n   2 t , t

r → 2 ' t = cos ⁡ t , 2 cos ⁡ 2 t , 1

Fazendo t = 0 temos:

r → 2 ' 0 = 1,2 , 1

Passo 3

Desta forma podemos calcular o ângulo a partir do produto escalar.

r → 1 ' ( 0 ) ∙ r → 2 ' ( 0 ) = r → 1 ' ( 0 ) r → 1 ' ( 0 ) cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = r → 1 ' 0 ∙ r → 2 ' 0 r → 1 ' 0 r → 1 ' 0

Substituindo os valores que encontramos:

cos ⁡ θ = 1,0 , 0 ∙ 1,2 , 1 1,0 , 0 1,2 , 1

Temos então um produto escalar:

cos ⁡ θ = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 1,0 , 0 1,2 , 1

Calculando o produto dos módulos:

cos ⁡ θ = 1 1 ⋅ 1 + 4 + 1

cos ⁡ θ = 1 1 ⋅ 6

cos ⁡ θ = 1 6

θ = arccos ⁡ 1 6

θ = 66 °

Resposta

Ângulo entre as duas curvas que se cruzam na origem: θ = 66 °

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