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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 33

Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é

A x = p x x

(a) Encontre A ' x . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A ' x > 0 ?

(b) Mostre que A ' x > 0 se p ' ( x ) for maior que a produtividade média.

Passo 1

E aíi, bora resolver esse problema!

Temos uma função produtividade de uma fábrica

A x = p x x

Onde p ( x ) é o valor total da produção e x o número de trabalhadores em uma fábrica.

Sabedo disso, na letra (a) temos que calcular A ' ( x ) e responder por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A ' x > 0 .

E no item b) temos que mostrar que A ' x > 0 se p ' x > A x .

Parece complicado?

Perceba que A x é uma fração de funções de x , dessa forma, para calcular A ' podemos aplicar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

A partir daí podemos obter A ' e fazer algumas analises para responder as perguntas do problema.

Bora lá!

Passo 2

Para encontrar A ' x vamos aplicar a regra do quociente:

A ' x = d d x p x · x - p x · d d x x x 2

A ' x = x   p ' x - p x x 2

Ficamos com:

A ' x = p ' x x - p x x 2

Vamos anaisar uma coisa...

Caso A ' x > 0 , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.

Concorda?

Passo 3

Agora temos que provar que A ' x > 0 se p ' ( x ) for maior que a produtividade média. Escrevendo isso temos:

p ' x > A x  

Se A x = p x x , então

p ' x > p x x  

Multiplicando os dois lados por x

x p ' x > p x  

Passando a p x para o outro lado...

x p ' x - p x > 0  

Show?

No passo anterior vimos que

A ' x = p ' x x - p x x 2

Dividindo todo mundo por x 2 na nossa inequação

p ' x x - p x x 2 > 0  

Portanto:

A ' x > 0  

Prontinho!! O que achou? Responde Aí!

Resposta

(a) A ' x = p ' x x - p x x 2 . Caso A ' x > 0 , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.

(b) Demonstração na resolução.

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