Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 33
Se for o valor total da produção quando há trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é
(a) Encontre . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se ?
(b) Mostre que se for maior que a produtividade média.
Passo 1
E aíi, bora resolver esse problema!
Temos uma função produtividade de uma fábrica
Onde é o valor total da produção e o número de trabalhadores em uma fábrica.
Sabedo disso, na letra (a) temos que calcular e responder por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se .
E no item b) temos que mostrar que se .
Parece complicado?
Perceba que é uma fração de funções de , dessa forma, para calcular podemos aplicar a regra do quociente.
A partir daí podemos obter e fazer algumas analises para responder as perguntas do problema.
Bora lá!
Passo 2
Para encontrar vamos aplicar a regra do quociente:
Ficamos com:
Vamos anaisar uma coisa...
Caso , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.
Concorda?
Passo 3
Agora temos que provar que se for maior que a produtividade média. Escrevendo isso temos:
Se , então
Multiplicando os dois lados por
Passando a para o outro lado...
Show?
No passo anterior vimos que
Dividindo todo mundo por na nossa inequação
Portanto:
Prontinho!! O que achou? Responde Aí!
Resposta
(a) . Caso , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.
(b) Demonstração na resolução.