Encontre os valores de b tais que o valor médio de f(x) = 2 + 6x - 3x² no intervalo [0, b] é igual a 3 .

Passo 1

O requisito é tal que

1 b - 0 ∫ 0 b f x d x = 3

Passo 2

O LHS dessa equação é igual a

1 b ∫ 0 b 2 + 6 x - 3 x 2 d x = 1 b 2 x + 3 x 2 - x 3 0 b = 2 + 3 b - b 2

Então nós resolvemos a equação:

2 + 3 b - b 2 = 3 ↔ b 2 - 3 b + 1 = 0 ↔ b = 2 ± - 3 2 - 4 * 1 * 1 2 * 1 = 3 ± 5 2

Ambas as raízes são válidas desde que sejam positivas.

Resposta

b = 3 ± 5 2 .

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