Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 18

Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95 ° C em uma sala cuja temperatura ambiente é de 20 ° C , de acordo com a lei do resfriamento de Newton, a tempertatura do café após t minutos será

T t = 20 + 75 e - t 50

Qual é a temperatura média do café durante a primeira meia hora?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, precisamos entender o que é o valor médio. Esse é usado para facilitar nossa vida, quando temos uma infinidade de valores para um problema. O valor médio é dado por

f m é d = 1 b - a   ∫ a b f ( x ) d x

O problema quer a temperatura no intervalo onde a = 0 , representando o instante inicial e b = 30 , representando a meia hora ( 1   h = 60   m i n , logo, 1 2 h = 30   m i n ).

Agora vamos resolver!!

Passo 2

Substituindo os valores, a nossa temperatura média será:

f m é d = 1 30 - 0   ∫ 0 30 20 + 75 e - t 50 d t

Nós vamos separar a integral para resolvê-la melhor:

f m é d = 1 30   ∫ 0 30 20 d t + ∫ 0 30 75 e - t 50 d t

Na segunda integral, vamos aplicar uma substituição, onde u = - t 50 e d u = - 1 50 d t .

f m é d = 1 30   ∫ 0 30 20 d t + 75 ∫ 0 30 - 50   e u d u

Logo,

f m é d = 1 30 20 t - 50 × 75 e - t 50 0 30

Passo 3

Agora podemos substituir os intervalos e ser feliz!!

f m é d = 1 30 20 × 30 - 3750 e - 30 50 - 20 × 0 - 3750 e - 0 50

f m é d = 1 30 600 - 3750 e - 3 5 - - 3750

f m é d = 1 30 - 1458,04 + 3750

f m é d = 1 30 2291,96

f m é d ≈ 76,4 ° C

Prontinho!!

Resposta

f m é d ≈ 76,4 ° C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.6- f x = sec ⁡ x tan ⁡ x ,[ 0 ,π / 3 ]
Encontre o valor médio da função no intervalo dado.9- f x = 1 1 + x 2 ,[ 1 , 3 ]
Suponha que uma partícula em movimento retilíneo parta do repouso e tenha uma velocidade média de 2m / s ao longo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 5 . Esboce uma curva velocidade versus tempo para a part
Encontre o valor médio da função no intervalo dado.4- f x = x 3 ,[ - 1 ,8 ]
Seja f x = 3 x 2 .(a) Encontre a média aritmética dos valores f 0,4 ,f 0,8 ,f 1,2 ,f 1,6 e f ( 2,0 ) .(b) Encontre a média aritmética dos valores f 0 , 1 ,f 0,2 ,f 0 , 3 ,… f ( 2,0 ) .(c) Encontre o v