Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95 °C em uma sala cuja temperatura ambiente é de 20 °C , de acordo com a lei do resfriamento de Newton, a tempertatura do café após t minutos será

T(t) = 20 + 75 * e^(-t/50)

Qual é a temperatura média do café durante a primeira meia hora?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, precisamos entender o que é o valor médio. Esse é usado para facilitar nossa vida, quando temos uma infinidade de valores para um problema. O valor médio é dado por

f m é d = 1 b - a   ∫ a b f ( x ) d x

O problema quer a temperatura no intervalo onde a = 0 , representando o instante inicial e b = 30 , representando a meia hora ( 1   h = 60   m i n , logo, 1 2 h = 30   m i n ).

Agora vamos resolver!!

Passo 2

Substituindo os valores, a nossa temperatura média será:

f m é d = 1 30 - 0   ∫ 0 30 20 + 75 e - t 50 d t

Nós vamos separar a integral para resolvê-la melhor:

f m é d = 1 30   ∫ 0 30 20 d t + ∫ 0 30 75 e - t 50 d t

Na segunda integral, vamos aplicar uma substituição, onde u = - t 50 e d u = - 1 50 d t .

f m é d = 1 30   ∫ 0 30 20 d t + 75 ∫ 0 30 - 50   e u d u

Logo,

f m é d = 1 30 20 t - 50 × 75 e - t 50 0 30

Passo 3

Agora podemos substituir os intervalos e ser feliz!!

f m é d = 1 30 20 × 30 - 3750 e - 30 50 - 20 × 0 - 3750 e - 0 50

f m é d = 1 30 600 - 3750 e - 3 5 - - 3750

f m é d = 1 30 - 1458,04 + 3750

f m é d = 1 30 2291,96

f m é d ≈ 76,4 ° C

Prontinho!!

Resposta

f m é d ≈ 76,4 ° C

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