Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas abaixo. Em que elas diferem?

Bom, vamos tentar descobrir que curvas são essas pra poder comparar esses negócios.

Na curva da letra nós podemos isolar o na equação do :

E depois substituir isso na equação do :

Que é o mesmo que

Beleza?

E essa é a equação cartesiana que as equações paramétricas da letra representam.

Ok, agora vamos descobrir o que as outras equações paramétricas representam.

Na letra temos:

Que se você reparar são exatamente as equações da letra só que elevadas ao quadrado, ou seja, no fim das cotas elas vão representar a mesma equação cartesiana que na letra , só que com uma diferença BÁSICA.

Como ela tá AO QUADRADO, ela representa apenas a parte positiva da função, beleza? Só com a parte em que , porque agora nossa função veio de uma equação paramétrica em que o

Por conta do expoente par.

Então temos:

Porém apenas a parte positiva tanto para quanto para .

Agora aqui na letra , as equações paramétricas parecem bem diferentes das outras, mas se você reparar, elas seguem a mesma lógica. Só que agora estão na base .

Vamos usar o pra tentar isolar o em .

Temos que:

E

Então:

Substituindo isso em :

Podemos reescrever:

E, da propriedade do logaritmo, quando a base é igual, o resultado é o logaritmando:

Chegamos exatamente na mesma equação cartesiana de sempre!

Só que dessa vez, o que vai acontecer é que nessa função, teremos que ela é gerada apenas com a parte de , por conta do fato de termos usado o logaritmo pra isolar o .

Então comparando as , temos:

Para a parte a), a curva é

Para a parte b), a curva é .

Para a parte c), a curva é .