Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 38
Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas abaixo. Em que elas diferem?
Passo 1
Então meu amigo, vou te ajudar a resolver essa atividade.
A gente tem 3 curvas parametrizadas:
E precisamos comporar elas, deveremos olhar suas semelhanças e suas diferenças. Bom, vamos tentar descobrir que curvas são essas pra podes comparar esses negócios.
É interessante aqui a gente procurar voltar para as coordenadas cartesianas para que a gente possa ver se as curvas são curvas conhecidas nossa. A gente faz isso isolando uma variável, ou um parâmetro em uma equação e substituindo na outra.
Passo 2
Na curva da letra o já está isolado na equação do :
Agora é só substituir isso na equação do :
Beleza?
E essa é a equação cartesiana que as equações paramétricas da letra representam.
por causa de , isso também significa que não é igual a porém pode ser negativo e positivo, e .
Passo 3
Ok, agora vamos descobrir o que as outras equações paramétricas representam.
Na letra temos:
Se você reparar
Ou seja
Que é a mesma equação cartesiana da letra , só que agora ela veio de
Mas por causa de e por conta de função cosseno ser limitada, e por conta disso,
Passo 4
Agora aqui na letra , as equações paramétricas parecem bem diferentes das outras, mas se você reparar, elas seguem a mesma lógica. Só que agora estão na base .
Mas ainda assim,
E isso é nada mais nada menos que
Que é a mesma equação cartesiana de sempre, só que ela veio de
Que é algo que é sempre maior que zero. Mas como está ao quadrado, essa função é gerada apenas com e