Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo

x 2 + y - 1 2 = 4

Uma vez no sentido horádio, a partir de ( 2,1 ) .

Passo 1

Fala galerinha. De boa por ai?

O objetivo desta questão é encontrar as equações paramétricas que descrevem a trajetória de uma partícula que se move ao longo de um círculo específico, no sentido horário, começando em um ponto determinado. O círculo é definido pela equação x ² + ( y - 1 ) ² = 4 , e o ponto inicial é ( 2,1 ) .

Que tal começarmos com uma listinha de passo a passo?

  1. Entender a equação do círculo, verificar o centro e o raio.
  2. Parametrizar o movimento
  3. Ajustar para o sentido horário
  4. Verificar o ponto inicial
  5. Construir as equações paramétricas finais

Agora é só começar!!! Bora

Passo 2

Vamos entender nossa equação?

x 2 + y - 1 2 = 4

Temos o Centro

x 0 , y 0 = ( 0,1 )

e raio

r = 2

Passo 3

Vamos primeiramente parametrizar a circunferência:

Para x ( t )

x t = x 0 + r cos ⁡ t

Substituindo os termos

x t = 0 + 2 cos ⁡ t

x t = 2 cos ⁡ t

Para y ( t )

y t = y 0 + r sen ⁡ t

Substituindo os termos

y t = 1 + 2 sen ⁡ t

t ∈ 0 ,   2 π

Passo 4

Agora vamos identificar em que tempo t 0 a partícula inicia sua trajetória. Temos

x t 0 ,   y t 0 = 2,1

Substituindo os termos ( x t ,   y ( t ) )

2 cos ⁡ t 0 , 1 + 2 sen ⁡ t = 2,1

Separando por componentes

2 cos ⁡ t 0 = 2 1 + 2 sen ⁡ t 0 = 1 ⇒ t 0 = 0

Passo 5

Agora vejamos em que intervalo varia o parâmetro t .

A partícula dá uma volta, logo, faz uma rotação de 2 π . Como ela começa a trajetória dela em t 0 = 0 , tá tudo certo, ela vai andar de 0 até 2 π mesmo então.

Assim,

t ∈ 0,2 π

Passo 6

Agora temos que ver a questão do sentido de rotação.

Ela tá girando no sentido horário. Isso significa que temos que mudar o sinal do seno na parametrização. Assim, a parametrização fica:

x = 2 cos ⁡ t y = 1 - 2 sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

Lembrando de não mexer no sinal do + 1 ali!! Só trocamos o sinal do seno!

Resposta

x = 2 cos ⁡ t y = 1 - 2 sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

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