Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 33a
Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
Uma vez no sentido horádio, a partir de .
Passo 1
Fala galerinha. De boa por ai?
O objetivo desta questão é encontrar as equações paramétricas que descrevem a trajetória de uma partícula que se move ao longo de um círculo específico, no sentido horário, começando em um ponto determinado. O círculo é definido pela equação , e o ponto inicial é .
Que tal começarmos com uma listinha de passo a passo?
- Entender a equação do círculo, verificar o centro e o raio.
- Parametrizar o movimento
- Ajustar para o sentido horário
- Verificar o ponto inicial
- Construir as equações paramétricas finais
Agora é só começar!!! Bora
Passo 2
Vamos entender nossa equação?
Temos o Centro
e raio
Passo 3
Vamos primeiramente parametrizar a circunferência:
Para
Substituindo os termos
Para
Substituindo os termos
Passo 4
Agora vamos identificar em que tempo a partícula inicia sua trajetória. Temos
Substituindo os termos
Separando por componentes
Passo 5
Agora vejamos em que intervalo varia o parâmetro .
A partícula dá uma volta, logo, faz uma rotação de . Como ela começa a trajetória dela em , tá tudo certo, ela vai andar de até mesmo então.
Assim,
Passo 6
Agora temos que ver a questão do sentido de rotação.
Ela tá girando no sentido horário. Isso significa que temos que mudar o sinal do seno na parametrização. Assim, a parametrização fica:
Lembrando de não mexer no sinal do ali!! Só trocamos o sinal do seno!