Compare a Definição 1.3.1 informal com a Definição 1.4.2.

(a) Quais partes da Definição 1.4.2 correspondem à expressão “os valores de f(x) ficam tão próximos quanto queiramos de L ” da Definição 1.3.1? Explique.

(b) Quais partes da Definição 1.4.2 correspondem à expressão “à medida que x cresce sem cota” da Definição 1.3.1? Explique.

Passo 1

A definição é essa:

lim x → ∞ ⁡ f x = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , houver um correspondente número positivo N tal que

f x - L < ϵ se x > N

Precisamos comparar essa definição com a definição informal. Bora!

Passo 2

(a) A parte dessa definição que se refere a “os valores de f ( x ) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L ” é representada pela inequação:

f x - L < ϵ

A distância entre os valores de f ( x ) e L nessa definição mais precisa é quantificada por ϵ , que é um valor que nós controlamos.

Passo 3

(b) A parte dessa definição que se refere a “à medida que x cresce sem cota” é representada pela inequação:

x > N

Que quer dizer que x pode crescer sem parar e estar no intervalo ( N , + ∞ ) . Ele não é limitado superiormente, ou seja, não tem uma cota superior.

Resposta

(a) f x - L < ϵ

(b) x > N

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