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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.11 - Ex. 8

Encontre a linearização L ( x ) da função em a .

f (x) = root(3)(x) , a = - 8

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos linearizar L (x) em função de a .

f (x) = root(3)(x) , a = - 8

Se queremos linearizar uma função f ( x ) , fazendo uma aproximação tendo como base um valor x = a , aplicamos a seguinte fórmula:

L (x) = f (a) + f ' ( a ) ( x - a )

Então, substituindo a por -8 e f ( x ) por root(3)(x) , seremos capazer de encontrar a linearização pedida.

Passo 2

Primeiro calculamos f ( a ) . Temos:

f (a) = root(3)(- 8) = - 2

Agora devemos ter o valor da derivada da função para x = - 8 . Derivando:

f (x) = root(3)(x) = x^(1 // 3)

=> f^' (x) = (1)/(3) x^(- 2 // 3) = (1)/(3 root(3)(x^2))

Então, para x = - 8 :

f^' (a) = (1)/(3 root(3)(( - 8 )^2)) = (1)/(3 root(3)(64)) = (1)/(3 * 4) = (1)/(12)

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula:

L (x) = f (a) + f^' (a) ( x - a )

L (x) = - 2 + (1)/(12) (x - (- 8)) = - 2 + (x + 8)/(12)

= (x + 8 - 24)/(12)

=> L ( x ) = (x - 16)/(12)

Prontinho!

Resposta

L ( x ) = (x - 16)/(12)

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