Encontre a linearização L(x) da função em a .

f(x) = raiz_cubica(x), a = -8

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos linearizar L x em função de a .

f x = x 3 ,         a = - 8

Se queremos linearizar uma função f ( x ) , fazendo uma aproximação tendo como base um valor x = a , aplicamos a seguinte fórmula:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Então, substituindo a por -8 e f ( x ) por x 3 , seremos capazer de encontrar a linearização pedida.

Passo 2

Primeiro calculamos f ( a ) . Temos:

f a = - 8 3 = - 2

Agora devemos ter o valor da derivada da função para x = - 8 . Derivando:

f x = x 3 = x 1 / 3

⇒ f ' x = 1 3 x - 2 / 3 = 1 3 x 2 3

Então, para x = - 8 :

f ' a = 1 3 ( - 8 ) 2 3 = 1 3 64 3 = 1 3 ⋅ 4 = 1 12

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula:

L x = f a + f ' a ( x - a )

L x = - 2 + 1 12 x - - 8 = - 2 + x + 8 12

= x + 8 - 24 12

⇒ L ( x ) = x - 16 12

Prontinho!

Resposta

L ( x ) = x - 16 12

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