Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 40
- Completando o quadrado, mostre que
- Ao fatorar como uma soma de cubos, reescreva a integral do item a). Depois expresse como a soma de uma série de potências e use-a para provar a seguinte fórmula para :
Passo 1
Falaa, pessoal! Tudo certo??
Vamos dar uma olhada nessa questão.
Na leta , ele pede pra gente mostrar o valor dessa integral, completando o quadrado. A ideia vai ser mexer no denominador dessa fração pra transformar em alguma coisa que de pra comparar com essa integral:
E assim conseguimos calcular normalmente a integral e provar o valor.
Já na letra , a gente precisa reescrever a integral do item a partir da soma de cubos de , ou seja, precisamos lembrar dessa lógica de fatoração:
Depois, vamos demonstrar essa fórmula para que a questão deu, usando essa série de potências:
Então vamos começar!
Passo 2
Começando completando quadrados do denominador da integral:
Então a integral que vamos calcular fica assim:
Para calcular essa integral a gente vai ter que transformar ela em alguma coisa parecida com essa aqui:
Então vamos colocar em evidência no denominador:
Assim, conseguimos achar a primitiva dessa função usando a substituição :
E assim, acabamos de provar o valor da letra a)!
Passo 3
Precisamos agora fatorar como uma soma de cubos, usando essa relação:
Então:
Percebe que o segundo termo desse produto é o denominador da integral de . Então vamos voltar pra integral:
Agora vamos reescrever o termo como uma série de potências:
Portanto, nossa integral se transforma em:
Passo 4
Integrando ambas as séries, temos:
Podemos colocar e em evidência:
Substituindo os limites, temos:
Passo 5
Como essa série representa a integral da letra , nós já sabemos o valor:
E acabamos de provar o que a questão nos pede!
Resposta
Demonstrado na resolução.