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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 27

Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função x 3 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Passo 1

Olá galera! Temos na expressão dada um logaritmo e sabemos que a sua derivada pode ser representada por uma série geométrica.

Passo 2

d d x ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = 2 x 1 + x ² = 2 x ∙ 1 1 + x 2 = 2 x ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = 2 x ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n

d d x ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 x 2 n + 1

ln ⁡ 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ∫ ( - 1 ) n 2 x 2 n + 1   d x

ln ⁡ 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 x 2 n + 2 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 2 n + 1

Multiplicando x 3 por esta última equação, encontraremos a série procurada

x 3 ln ⁡ 1 + x 2 = x 3 ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 2 n + 1 = 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 3 n + 1

Resposta

Explicação no passo a passo

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