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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 26

Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função cos ⁡ x - sen ⁡ x .

Passo 1

Olá galera! Boraa resolver esta questão! Precisamos primeiro encontrar as séries de Taylor de cos ⁡ x e sen ⁡ x para depois usar a operação de subtração entre séries de Taylor.

Passo 2

Cálculo da série de Taylor de cos ⁡ x :

A função e suas derivadas são

f x = cos ⁡ x ⟹ f 0 = 1

f ' x = - sen ⁡ x ⟹ f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sen ⁡ x ⟹ f ' ' ' 0 = 0

f ( 4 ) x = cos ⁡ x ⟹ f ( 4 ) 0 = 1

Aproveitando a periodicidade de cos ⁡ x , então podemos escrever

cos ⁡ x = 1 0 ! - 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + …

Passo 3

Cálculo da série de Taylor de sen ⁡ x :

A função e suas derivadas são

g x = sen ⁡ x ⟹ g 0 = 0

g ' x = cos ⁡ x ⟹ g ' 0 = 1

g ' ' x = - sen ⁡ x ⟹ g ' ' 0 = 0

g ' ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ g ' ' ' 0 = - 1

g 4 x = sen ⁡ x ⟹ g 4 0 = 0

Aproveitando a periodicidade de sen ⁡ x , então podemos escrever

sen ⁡ x = 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + …

Passo 4

Já demos um grande passo. O que resta agora é subtrair as duas séries

cos ⁡ x - sen ⁡ x = 1 0 ! - 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + … - 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + …

cos ⁡ x - sen ⁡ x = 1 0 ! - 1 1 ! x - 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 - 1 5 ! x 5 - 1 6 ! x 6 + 1 7 ! x 7 + …

cos ⁡ x - sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n n !

Resposta

Explicação no passo a passo

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A série sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + … converge para sen ⁡ x para todo x .a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para cos ⁡ x . Para quais valores de x
a. Mostre que se duas séries de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n e ∑ n = 0 ∞ b n x n são convergentes e iguais para todos os valores de x em um intervalo aberto ( - c , c ) , então a n = b n para todo n .
Para quais valores de x a série 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … converge? Qual é sua soma? Qual série você obtém se derivar a série dada termo a termo? Para quais valores de x a
A série tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + … Converge para tg ⁡ x para - π 2xπ 2 . a. Encontre os cinco primeiros termos da série para ln ⁡ sec ⁡ x .Para quais valores de x a s
Se você integrar termo a termo a série do Exercício 49, qual nova série você obtém? Para quais valores de x a nova série converge? E qual é o outro nome para sua soma?