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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1l

Calcule.

int_(- 1)^0 x sqrt(x + 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 1 -> x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x -> d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 1 -> u = - 1 + 1 = 0

x = 0 -> u = 0 + 1 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 1)^0 x sqrt(x + 1) d x = int_0^1 (u - 1) sqrt(u) d u = int_0^1 (u - 1) u^((1)/(2)) d u = int_0^1 u^(1 + (1)/(2)) - u^((1)/(2)) d u = int_0^1 u^((3)/(2)) - u^((1)/(2)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int u^((3)/(2)) - u^((1)/(2)) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^((3)/(2)) - u^((1)/(2)) d u = (u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) - (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) - (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2 u^((5)/(2)))/(5) - (2 u^((3)/(2)))/(3) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^1 u^((3)/(2)) - u^((1)/(2)) d u = ((2 u^((5)/(2)))/(5) - (2 u^((3)/(2)))/(3))_0^1 = (2 * 1^((5)/(2)))/(5) - (2 * 1^((3)/(2)))/(3) - ((2 * 0^((5)/(2)))/(5) - (2 * 0^((3)/(2)))/(3)) = (2 * 1)/(5) - (2 * 1)/(3) = (2)/(5) - (2)/(3) = (6 - 10)/(15) = - (4)/(15)

Resposta

int_(- 1)^0 x sqrt(x + 1) d x = - (4)/(15)

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