Calcule.

∫ - 1 0 x x + 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 1 → x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x → d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 1 → u = - 1 + 1 = 0

x = 0 → u = 0 + 1 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 1 0 x x + 1 d x = ∫ 0 1 u - 1 u d u = ∫ 0 1 u - 1 u 1 2 d u = ∫ 0 1 u 1 + 1 2 - u 1 2 d u = ∫ 0 1 u 3 2 - u 1 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ u 3 2 - u 1 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 3 2 - u 1 2 d u = u 3 2 + 1 3 2 + 1 - u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 5 2 5 2 - u 3 2 3 2 = 2 u 5 2 5 - 2 u 3 2 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 1 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 u 5 2 5 - 2 u 3 2 3 0 1 = 2 ⋅ 1 5 2 5 - 2 ⋅ 1 3 2 3 - 2 ⋅ 0 5 2 5 - 2 ⋅ 0 3 2 3 = 2 ⋅ 1 5 - 2 ⋅ 1 3 = 2 5 - 2 3 = 6 - 10 15 = - 4 15

Resposta

∫ - 1 0 x x + 1 d x = - 4 15

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