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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 53

53. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível?

Passo 1

Faaala, galera! É o seguinte: aqui nós sabemos o comprimento L da diagonal de uma caixa retangular e queremos saber qual é o seu maior volume possível.

Então, nós vamos escrever o volume em função desse comprimento e extremizar essa função volume, encontrando o seu valor máximo. Tranquilo?

Inicialmente, vamos considerar os lados do retângulo como x , y e z . Então a diagonal fica o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

E o volume fica:

V x , y , z = x y z

Podemos escrever z = L 2 - x 2 - y 2   e substituir na equação do volume:

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Ao fazer isso nós simplificamos o problema, visto que agora o volume depende apenas de x e y .

Agora nós encontraremos os pontos críticos dessa função fazendo com que ∇ V x , y = 0 .

Vamos às contas?

Passo 2

Lembrando que o gradiente é

∇ V x , y = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y

Vamos calcular as derivadas.

Seja

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Derivando com relação a x :

V x = ∂ ∂ x V

Usando a regra do produto, temos:

V x = y L 2 - x 2 - y 2 + 1 2 ⋅ - 2 x × x y L 2 - x 2 - y 2

Logo,

V x = y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2

Derivando com relação a y :

V y = ∂ ∂ y V

Assim,

V x = x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2

Igualando as duas derivadas a zero, temos:

y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Podemos juntar juntar os termos em cada equação, resultando em um único termo,

y L 2 - 2 x 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Passo 3

Então temos o seguinte:

y L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Como x , y ≠ 0 :

2 x 2 + y 2 = L 2 x 2 + 2 y 2 = L 2

Resolvendo o sistema:

x = y = L 3

Agora é só achar o z .

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Assim,

z = L 3

Então o volume fica o seguinte:

V = L 3 × L 3 × L 3 = L 3 3 3

Resposta

L 3 3 3

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