Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 41
Encontre os pontos do cone que são mais próximos do ponto .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos!
Aqui a gente precisa determinar qual ponto do plano:
Está mais próximo do ponto:
Para resolver essa questão, devemos encontrar a distância entre o ponto e o plano em função dos eixos.
Depois com a equação do plano, isolar um dos eixos e substituir na equação acima.
Calcularemos as derivadas parciais e as igualaremos a para descobrirmos qual ou quais são os pontos críticos.
A partir do teste da segunda derivada conseguiremos saber se é um ponto de máximo de mínimo ou de sela.
Escolheremos o que está de acordo com o enunciado e substituindo na primeira equação encontrada você conseguirá encontrar a distância.
Passo 2
A queação da distancia entre pontos é dada por:
Colocamos nosso ponto dado na fórmula da distância e reconhecemos que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de e . Ou seja, podemos substituir pela nossa expressão :
Como:
Substituindo:
Elevando ambos os lados ao quadrado após realizar o produto notavel:
Simplificando:
Temos então que encontrar os pontos críticos:
E
Encontrando as raízes para que possamos obter os pontos críticos:
E
Então o ponto de menor distancia é o:
Substituindo em:
Então nosso ponto finalmente é: