Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas.

r = sen(θ), r = cos(θ)

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro das curvas

r = s e n   θ

e

r = cos ⁡ θ

Um esboço das duas curvas é dado a seguir:

O encontro delas se dá em θ = π / 4 , que encontramos ao igualarmos ambas as equações.

Note que se dividirmos a região na metade obtemos duas áreas idênticas.

Uma que vai ser a integral da curva vermelha entre θ = 0 e θ = π / 4 e a outra que será a integral da curva verde entre θ = π / 4 e θ = π / 2 .

Vamos fazer só a primeira integral e depois multiplicá-la por 2 .

A área de uma região em coordenadas polares é dada por:

A = 1 2 ∫ a b r θ 2 d θ

E a e b é o nosso intervalo de integração.

Passo 2

Vamos fazer só a primeira integral e depois multiplicá-la por 2 :

A = 2 ⋅ ∫ 0 π 4 1 2   s e n   θ 2   d θ

A = ∫ 0 π / 4 s e n 2 θ   d θ

Vamos usar a fórmula:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Assim,

A = 1 2 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ

A = 1 2 θ - 1 2 s e n   2 θ 0 π / 4

Portanto,

A = 1 2 π 4 - 1 2 s e n π 2

A = 1 2 π 4 - 1 2

Logo,

A = π 8 - 1 4

Resposta

A = π 8 - 1 4

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