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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 47

Cicloide

a. Encontre o comprimento de um arco da ciclóide

x = a ( t - s e n   t ) ,   y = a ( 1 - c o s t )

b. Encontre a área da superfície gerada ao girar um arco da ciclóide no item (a) em torno do eixo x para a = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vem comigo para mais uma questão!

A questão pede para a gente encontrar o comprimento de um arco da ciclóide. Para isso, a gente usa a fórmula

L = ∫ 0 2 π d x d t 2 + d y d t 2 d t

No item b, temos que encontrar a área da superfície gerada ao girar um arco da ciclóide no item (a) em torno do eixo x para a = 1 . Para isso, a gente usa a fórmula

S = ∫ 0 2 π 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

porque a rotação é em torno do eixo x . O intervalo foi escolhido para pegar justamente um arco da ciclóide.

Isso foi só um aquecimento, vamos resolver a questão nos próximos passos. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas

d x d t = d d t a ( t - s e n   t ) = a - a c o s t = a ( 1 - c o s t )  

d y d t = d d t a ( 1 - c o s t ) = a   s e n   t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 ( 1 - c o s t ) 2 + a 2   s e n   2 t = a 2 ( 1 - 2 c o s t + c o s 2 t ) + a 2   s e n   2 t

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 a 2 ( 1 - c o s t )

E agora, o que fazer? Calma, não criemos pânico! A gente tem que lembrar da relação trigonométrica

s e n 2 t 2 = 1   -   c o s t 2

Então

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 a 2 s e n 2 t 2 = 2 a   s e n t 2  

Passo 3

Agora, podemos usar as fórmulas do Passo 1.

a. O comprimento de arco é

L = ∫ 0 2 π d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 2 π 2 a   s e n t 2   d t

L = - 4 a   c o s t 2   | 0 2 π =   - 4 a c o s π + 4 a c o s 0

L = 4 a + 4 a = 8 a

Passo 4

b. A área da superfície rotacionada em torno do eixo x para a = 1 , temos

S = ∫ 0 2 π 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 2 π 4 π ( 1 - c o s t )   s e n t 2   d t

Para ajudar com essa integral, vamos usar a fórmula

c o s t = c o s 2 t 2 - s e n 2 t 2 = c o s 2 t 2 - 1 - c o s 2 t 2

⇒ c o s t = 2 c o s 2 t 2 - 1

Agora, ficamos com

S = ∫ 0 2 π 4 π 1 - 2 c o s 2 t 2 - 1   s e n t 2   d t = 8 π ∫ 0 2 π ( 1 - c o s 2 t 2 )   s e n t 2   d t

⇒ S = 8 π ∫ 0 2 π s e n t 2   d t - 8 π ∫ 0 2 π c o s 2 t 2   s e n t 2   d t

Agora a gente faz u = c o s t 2 ,   d u = - 1 2 s e n t 2 ,na segunda integral, e muda os intervalos de integração t = 0 → u = 1 , t = 2 π → u = - 1 :

∫ 0 2 π c o s 2 t 2   s e n t 2   d t = 2 ∫ - 1 1 u 2 d u = 2 u 3 3 | - 1 1

⇒ ∫ 0 2 π c o s 2 t 2   s e n t 2   d t = 2 1 3 3 - ( - 1 ) 3 3 = 4 3

Assim, ficamos com

S = 8 π - 2 c o s ( t 2 ) | 0 2 π   - 4 3 = 8 π 2 + 2 - 4 3

⇒ S = 8 π 8 3 = 64 3 π

⇒ S = 64 3 π

Ufa, essa foi um pouquinho complicada, né? Mas nós conseguimos, uhuu!

Resposta

a. L = 8 a

b. S = 64 3 π

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