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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 32

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.

r 2 = 2   s e n   2 θ ,               r = 1

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro das curvas r 2 = 2   s e n   2 θ e r = 1 . Um esboço das duas curvas é dado a seguir:

A área abaixo do gráfico é uma integral, é dada por:

A = 1 2 ∫ b a r 2 d θ

Em que a ,   b é o intervalo de integração.

Estamos procurando a área de uma pétala sem sua região "externa". Em outras palavras, estamos procurando a área de uma pétala sem a parte que está fora do círculo vermelho. Quando encontrarmos a área de uma pétala, precisamos multiplicá-la por 2 , porque há 2 pétalas na imagem.

Primeiro, calculamos a área inteira da pétala. Observamos que uma pétala está entre ( 0 ≤ θ ≤ π 2 ) .

Passo 2

Então temos que a área da pétala é:

A p e t a l a = 1 2 ∫ 0 π 2 r 2 d θ

Substituindo:

A p e t a l a = 1 2 ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ 2 θ 2 d θ

Temos então que:

A p e t a l a = ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ

A p e t a l a = - 1 2 cos ⁡ 2 θ 0 π 2

A p e t a l a = 1

Agora, para encontrar a área da parte da pétala fora do círculo vermelho da imagem, precisamos encontrar a interseção das duas curvas:

2 sin ⁡ 2 θ = 1

sin ⁡ 2 θ = 1 2

θ = π 12 + k π ; k   ∈   Z

θ = 5 π 12 + k π ;     k   ∈   Z

Passo 3

Agora, para calcular a área da pétala que está fora do círculo vermelho, calculamos a área completa da pétala (até mesmo a parte que está fora do círculo) e então subtraímos a parte que está dentro do círculo vermelho. Estamos observando a área ( π 12 ≤ θ ≤ 5 π 12 ) .

A 1 = 1 2 ∫ π 12 5 π 12 r 1 2 d θ - 1 2 ∫ π 12 5 π 12 r 1 2 d θ

Colocando os valores na nossa integral:

A 1 = 1 2 ∫ π 12 5 π 12 2 sin ⁡ 2 θ 2 d θ - 1 2 ∫ π 12 5 π 12 1 2 d θ

Retirando a raiz:

A 1 = 1 2 ∫ π 12 5 π 12 2 sin ⁡ 2 θ d θ - 1 2 ∫ π 12 5 π 12 1 2 d θ

Calculando a integral:

A 1 = 1 2 - cos ⁡ 2 θ π 12 5 π 12 - 1 2 5 π 12 - π 12

A 1 = 1 2 - cos ⁡ 10 π 12 + cos ⁡ π 6 - 1 2 4 π 12

A 1 = 3 2 - π 6

Então temos que a área que a gente quer é:

A = A p e t a l a - A 1

A = 1 - 3 2 + π 6

Resposta

A = 1 - 3 2 + π 6

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