Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas que está no setor especificado.

r = raiz(θ), 0 ≤ θ ≤ π/4

Passo 1

Fala galerinha. Tranquilo?

A questão pede para encontrar a área da regiçaõ limitada pela curva r = θ no setor polar especificado por 0 ≤ θ ≤ π 4 .

E como vamos resolver essa questão? Acredita que temos uma equação para calcular a área?! Assim que resolve-la, obtemos o resultado. Se liga nos passos!

  1. Utilizar a equação da área, com o intervalo de integração fornecido.
  2. A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

  3. Calcular a integral e teremos nossa área.

É isso pessoal! Agora é só calcular!

Passo 2

O problema pede para calcularmos a área limitada pela curva r = θ e os raios θ = 0 e θ = π / 4 . Para isso, usamos a expressão para a área em coordenadas polares:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Assim,

A = 1 2 ∫ 0 π 4 θ d θ  

A = 1 2 ∫ 0 π / 4 θ 1 2 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 π / 4 θ   d θ

O resultado da integral será:

A = 1 2 θ 2 2

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

A = 1 2   θ 2 2 0 π / 4

Logo,

A = 1 4 ⋅ π 2 16

Portanto,

A = π 2 64

Resposta

A = π 2 64

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