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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 39

O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1   m e w = h = 2   m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2   m / s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3   m / s . Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.

a) O volume.

b) A área da superfície.

c) O comprimento da diagonal.

Passo 1

Fala ai gelerinha. De boa?

O objetivo dessa questão é determinar as taxas de variação de diferentes quantidades relacionadas a uma caixa cujas dimensões l ,   w   e   h variam com o tempo.

Se liga nos procedimentos para encontrar as taxas das variações.

  1. Vamos identificar as dimensões dadas no enunciado
  2. Vamos determinar o volume, área e o comprimento da diagonal

    3. O volume é dado pelo produto entre a dimensão da caixa

    V = a ∙ b ∙ c

    A área é dado pela soma das áreas de todas as superfícies da caixa

    A = 2 ∙ A a + 2 ∙ A b + 2 ∙ A c

    e a diagonal é distância entre dois cantos opostos da caixa, calculamos

    D = l 2 + w 2 + h 2

  3. Para calcular as taxas devemos derivar a equação do volume, da área e da diagonal e utilizar as regras de derivação necessárias.

Partiu resolver!

Passo 2

Vaos começar a separar os dados fornecidos pelo enunciado.

O problema fala de uma caixa com dimensões l , w e h com

l = 1   m ,     h = 2   m                 e                   w = 2   m

Além disso, essas dimensões estão variando com

d l d t = d w d t = 2   m / s               e               d h d t = - 3   m / s

Passo 3

No item (a) queremos saber a taxa de variação do volume. Sabemos que o volume da caixa é dado pelo produto entre as três dimensões, comprimento ( l ) , largura ( w ) e altura ( h ) .

V l ,   w ,   h = l w h

Assim, pela regra da cadeia:

d V d t = ∂ V ∂ l ⋅ d l d t + ∂ V ∂ w ⋅ d w d t + ∂ V ∂ h ⋅ d h d t

Assim, substituindo os termos

d V d t = ∂ ( l w h ) ∂ l ⋅ d ( l ) d t + ∂ ( l w h ) ∂ w ⋅ d ( w ) d t + ∂ ( l w h ) ∂ h ⋅ d ( h ) d t

d V d t = w h ⋅ d l d t + l h ⋅ d w d t + l w ⋅ d h d t

Substituindo os valores:

d V d t = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ - 3

d V d t = 8 + 4 - 6

Portanto,

d V d t = 6   m 3 / s

Passo 4

No intem (b), a área superficial é dada pela soma das superfícies da caixa

A l ,   w ,   h = 2   ( l w + l h + w h )

Pela regra da cadeia,

d A d t = ∂ A ∂ l ⋅ d l d t + ∂ A ∂ w ⋅ d w d t + ∂ A ∂ h ⋅ d h d t

Assim, substituindo os termos

d A d t = ∂ 2   l w + l h + w h ∂ l ⋅ d l d t + ∂ 2   l w + l h + w h ∂ w ⋅ d w d t + ∂ 2   l w + l h + w h ∂ h ⋅ d h d t

d A d t = 2   ( w + h ) ⋅ d l d t + ( l + h ) ⋅ d w d t + ( l + w ) ⋅ d h d t

Substituindo os valores:

d A d t = 2   2 + 2 ⋅ 2 + 1 + 2 ⋅ 2 + 1 + 2 ⋅ - 3

d A d t = 2   8 + 6 - 9

Logo,

d A d t = 10   m 2 / s

Passo 5

Por fim, o item (c) pede a diagonal, é dada por

D = l 2 + w 2 + h 2

Desta forma, pela regra da cadeia:

d D d t = ∂ D ∂ l ⋅ d l d t + ∂ D ∂ w ⋅ d w d t + ∂ D ∂ h ⋅ d h d t

Temos que calcular a derivada de D em relação a l , w e h .

∂ D ∂ l = l l 2 + w 2 + h 2 = l D

∂ D ∂ w = w l 2 + w 2 + h 2 = w D

∂ D ∂ h = h l 2 + w 2 + h 2 = h D

Substituindo os termos

d D d t = 1 D l   d l d t + w �� d w d t + h   d h d t

Substituindo os valores:

D = 1 + 4 + 4 = 3

Logo,

d D d t = 1 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ - 3

Portanto,

d D d t = 0   m / s

Resposta

d V d t = 6   m 3 / s

d A d t = 10   m 2 / s

d D d t = 0   m / s

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