Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 39
O comprimento , a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são e , e estão aumentando em uma taxa de enquanto está decrescendo em uma taxa de . Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
a) O volume.
b) A área da superfície.
c) O comprimento da diagonal.
Passo 1
Fala ai gelerinha. De boa?
O objetivo dessa questão é determinar as taxas de variação de diferentes quantidades relacionadas a uma caixa cujas dimensões variam com o tempo.
Se liga nos procedimentos para encontrar as taxas das variações.
- Vamos identificar as dimensões dadas no enunciado
- Vamos determinar o volume, área e o comprimento da diagonal
- Para calcular as taxas devemos derivar a equação do volume, da área e da diagonal e utilizar as regras de derivação necessárias.
O volume é dado pelo produto entre a dimensão da caixa
A área é dado pela soma das áreas de todas as superfícies da caixa
e a diagonal é distância entre dois cantos opostos da caixa, calculamos
Partiu resolver!
Passo 2
Vaos começar a separar os dados fornecidos pelo enunciado.
O problema fala de uma caixa com dimensões , e com
Além disso, essas dimensões estão variando com
Passo 3
No item (a) queremos saber a taxa de variação do volume. Sabemos que o volume da caixa é dado pelo produto entre as três dimensões, comprimento , largura e altura .
Assim, pela regra da cadeia:
Assim, substituindo os termos
Substituindo os valores:
Portanto,
Passo 4
No intem (b), a área superficial é dada pela soma das superfícies da caixa
Pela regra da cadeia,
Assim, substituindo os termos
Substituindo os valores:
Logo,
Passo 5
Por fim, o item (c) pede a diagonal, é dada por
Desta forma, pela regra da cadeia:
Temos que calcular a derivada de em relação a , e .
Substituindo os termos
Substituindo os valores:
Logo,
Portanto,