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Exercícios de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v e ∂ f ∂ w para u , v , w = 1,1 , 1

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Questão 2

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

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Questão 3

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )

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Questão 4

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

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Questão 5

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Questão 6

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

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Questão 7

Seja

w = g ( x , y )

x = h r , s , t

y = k r , s , t

Escreva a fórmula da regra da cadeia para ∂ w ∂ s

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Questão 8

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

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Questão 9

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

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Questão 10

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

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Questão 11

Seja z = 4 e x ln ⁡ y ,onde

x = ln ⁡ u cos ⁡ v               e               y = u   s e n   v

Calcule ∂ z ∂ v quando u = 2 e v = π 4 .

  1. 4 2 1 - ln ⁡ 2
  2. - 4 2 1 + ln ⁡ 2
  3. 4 2 1 + ln ⁡ 2
  4. 2 1 + ln ⁡ 2
  5. nenhuma das outras alternativas

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Questão 12

Seja f : R 2 → R   ,   f = f ( x , y ) , uma função de classe C 2 e defina

g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v

  1. Determine δ 2 g δ u δ v em termos da função f e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  2. Se 2 x + 4 y + 3 z = 4 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,2 , f 0,2 , determine f 0,2 ,   ∇ f 0,2   e   ∇ g 1,1 .
  3. Sabendo que δ 2 f δ x 2 0,2 = 2 ,   δ 2 f δ y 2 0,2 = 4 e que   δ 2 f δ x δ y 0,2 = 1 , calcule δ 2 g δ u δ v 1,1 .

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Questão 13

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

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Questão 14

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

b) f x ,   y = 1 + x 2 - y 2 onde x u ,   v = u - v e y u ,   v = u + v .

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Questão 15

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

c) f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2 onde x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v .

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Questão 16

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v .

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Questão 17

O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que w = f ( x , y ) com y = x ² . Pela regra da cadeia:

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ x     →     ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x + 2 x ∂ w ∂ y

Assim, 0 = 2 x ∂ w ∂ y , de modo que ∂ w ∂ y = 0 ”

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Questão 18

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

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Questão 19

Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente por

u = x 2 + y 2 v = x y

a)Mostre que δ y δ u = - y x δ x δ u  

b)Suponha que x δ f δ x - y δ f δ y = 0 . Calcule δ g δ u .

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Questão 20

Calcule ∂ w ∂ r e ∂ w ∂ t para

w = x y + y z + x z

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

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Questão 21

Seja

f x , y = e 4 - x 2 - y ²

a) Calcule o vetor gradiente da função f no ponto P(1,1).

b) Calcule a derivada direcional da função f no ponto (1,1) e na direção do vetor v = - 1,2 .

c) Determine a direção segundo a qual D v f ( 1,1 ) é máxima e determine a taxa máxima nesse ponto.

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Questão 22

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f 1,0 = 2 , ∂ f ∂ x 1,0 = 1 e ∂ f ∂ y 1,0 = 2 . Seja

g u , v = f u + cos ⁡ v , u - v 2

Quanto valem ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 , respectivamente?

a 6 e - 2 ;

b 4 e - 8 ;

c 3 e - 2 ;

d 12 e - 8 ;

e 6 e - 4 .

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Questão 23

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y 0,0 = 3 e f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores de g x ( 0,0 ) e g y 0,0 são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

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Questão 24

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t quando z = s e n 3 θ - c o s ϕ ; θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t

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Questão 25

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação e z = x y z .

a) Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

b) Se x = 1 + 3 v e y = 2 u + v , determine ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve depender apenas de u , v e z .

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Questão 26

  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .

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Questão 27

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Defina

ϕ s , t = f x s , t , y s , t

Onde

x = x s , t = s t

y = y s , t = t s

Calcule

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t

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Questão 28

Considere g : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R ² ∕ { ( 0,0 ) }   onde:

g u , v = x u , v , y u , v

Com

x u , v = u u 2 + v 2

y u , v = - v u 2 + v 2

Sendo

u 2 + v ² ≠ 0

Seja f : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R   ; ( x , y ) → f ( x , y )  

Consiere a composta:

h u , v = f g u , v

  1. Calcule as derivadas parciais x u ,   x v ,   y u ,   y v num ponto ( u , v ) com u 2 + v ² ≠ 0
  2. Assuma f x 1 2 ,   - 1 2 = 3 e f y 1 2 ,   - 1 2 = 4 . Calcule h u ( 1,1 )
  3. Assuma h u 1,0 = 2 e h v 1,0 = 3 . Calcule f x 1 ,   0 e f y 1 ,   0

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Questão 29

Considere f x ,   y = x sen ⁡ x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  1. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 e ∂ y ∂ r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então ∂ g ∂ r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

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Questão 30

Questão 2: Se g t , t ∈ R , é uma função de classe C 1 e definimos a função

h : R 2 → R

x ,   y → x y   g sin ⁡ x y

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto x ,   y do plano vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

x ∂ h ∂ x x ,   y - y ∂ h ∂ y x ,   y = 0

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Questão 31

Encontre ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t para

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

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Questão 32

Considere uma função de três variáveis z = f ( x , y , z ) .

Seja z = sen ⁡ ( x y ) + x . sen ⁡ ( y )

Encontre ∂ z ∂ u quando u = 0 ; v = 1 ; x = u 2 + v 2 e y = u . v

  1. 1
  2. - 2
  3. 0
  4. 2
  5. - 1

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Questão 33

Sejam u x , y , z = x + y y + z ,   x p , r , t = p + 3 r + 4 t ,     y p , r , t = p - 3 r + 4 t   e z p , r , t = p + 3 r - 4 t . Utilizando a regra da cadeia, ∂ u ∂ p   vale:

  1. - 3 t p 3
  2. - 12 t p 2
  3. 12 t p 2 + t  
  4. - 4 t p 2
  5. 4 t p

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Questão 34

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e b ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Questão 35

Seja

F u , v = f x u , v , y u , v ,   v > 0

em que

x u , v = u 2 + v 2 2 ,                   y u , v = u v

a) Calcule F u e F v em função de u , v , f x e f y .

b) Calcule f x e f y em função u , v , F u e F v .

c) Suponha, agora, que F u , v = v . Descubra a constante c que satisfaz:

2 x y f x + 1 + y 2 f y = c

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Questão 36

Suponha que w x , y , z = x 3 f z x , y x onde x ≠ 0 e f : R 2 → R é uma função diferenciável. Mostre que

x ∂ w ∂ x x , y , z + y ∂ w ∂ y x , y , z + z ∂ w ∂ z x , y , z = 3 w x , y , z

Para todo x , y , z ∈ R 3 , com x ≠ 0

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Questão 37

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

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Questão 38

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se z : R 2 → R é uma função de classe C 1 no plano que satisfaz a equação

z x , y + z y , x = 1

Então as suas derivadas parciais satisfazem a equação

∂ z ∂ x x , y + ∂ z ∂ y y , x = 0

OBS:

Essa questão tem um pequeno erro, a derivada de y na prova que achamos está x , y mas durante a resolução percebemos que na verdade ela deveria ser como está escrito, caso contrário não daria certo.

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Questão 39

Seja F x , y uma função diferenciável tal que F 1,1 = 1 , ∂ F ∂ x 1,1 = 2 e ∂ F ∂ y 1,1 = 3 . Considere G x , y = F F x , y , F x , y . O que podemos afirmar sobre ∇ G 1,1 ?

a ∇ G 1,1 faz ângulo de 10 graus com ∇ F 1,1

b ∇ G 1,1 é ortogonal a ∇ F 1,1

c ∇ G 1,1 é paralelo a ∇ F 1,1

d ∇ G 1,1 faz ângulo de 45 graus com ∇ F 1,1

e ∇ G 1,1 faz ângulo de 30 graus com ∇ F 1,1

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Questão 40

Considere as funções f x , y , z = x y + z , x r , θ , ϕ = r c o s θ s e n ϕ   , y r , θ , ϕ = r s e n θ s e n ϕ   e z r , θ , ϕ = r c o s ϕ . Defina F r , θ , ϕ = f   x r , θ , ϕ , y r , θ , ϕ , z r , θ , ϕ . Calcule ∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2

a) - 1

b) - π 2

c) 1

d) π 2

e) 0

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Questão 41

Seja z = f x , y e

g x , y = ∂ 2 z ∂ u 2 x , y + ∂ 2 z ∂ u ∂ v x , y

definidas para 0 ≤ x ≤ 1 e y ≥ 0 . Sabe-se que:

i )   y ∂ z ∂ y x , y + y ∂ 2 z ∂ y 2 x , y = 2                   i i )   x v = sin 2 ⁡ v       e       y u = e u

  1. Determine a expressão de g ( x , y ) em função de x ,   y e as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z em relação às variáveis x e y .
  2. Determine g ( 1,50 ) .

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Questão 42

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável em todos os pontos de R 2 e

g u , v = f u + cos ⁡ v , sen ⁡ u + v

Considere a seguinte tabela de valores:

Quanto valem g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) , respectivamente?

  1. 5   e   3
  2. 3   e - 2
  3. 5   e   1
  4. 2   e - 1
  5. - 1   e   2

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Questão 43

Sejam z = 3 x y - 4 y 2 , x = 2 s e r ,   y = r e - s . Determine ∂ 2 f ∂ r 2 e ∂ f ∂ s ∂ r de duas maneiras:

  1. Usando a regra da cadeia

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Questão 44

Considere o elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

  1. Numa vizinhança de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 , suponha que conseguimos descrever o elipsoide como o gráfico de uma função diferenciável, isto é, escrever z = f ( x , y ) .

    2. Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

  2. Nas mesmas condições do item anterior, considere x = 1 + r cos ⁡ θ e y = 3 2 + r sen ⁡ θ . Determine ∂ z ∂ r e ∂ z ∂ θ para r , θ = 0 , π 6 .

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Questão 45

Seja

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Com

1 - x e 1 - y - x e y > 0

Seja

x u , v = 1 - u + v 3

y u , v = 1 - u - v 3

Considere g u , v = f x u , v ,   y u , v .

Calcule ∂ g ∂ v u 0 , v 0 , onde u 0 = 1 2 1 + 1 2 3 e v 0 = 1 2 1 - 1 2 3

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Questão 46

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Sejam

x r , θ = r cos ⁡ θ

y r , θ = r sen ⁡ θ

E

z r , θ = f x r , θ , y ( r , θ )

Suponha que ∂ z ∂ r = 2 e ∂ z ∂ θ = 0 no ponto r 0 , θ 0 = 2 , π 4 . Então,

3 ∂ f ∂ x 1,1 + 2 ∂ f ∂ y 1,1 =

  1. 10
  2. 5
  3. 2
  4. 1 5
  5. 10 2

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Questão 47

Sejam f   : R 2 → R uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 e g x , y = f ( f x , y , y ) . Sabendo que

∇ f 0,0 = ( 2,3 )

∇ f 1,0 = ( 3,2 )

Podemos afirmar que

  1. ∇ g 0,0 = ( 11,6 )
  2. ∇ g 0,0 = ( 6,6 )
  3. ∇ g 0,0 = ( 9,8 )
  4. ∇ g 0,0 = ( 6,11 )
  5. ∇ g 0,0 = ( 9,6 )

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Questão 48

Questão 2 – Na função abaixo, use a Regra da Cadeia para determinar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

z = arcsin ⁡ x - y ,     x = s 2 + t 2 ,     y = 1 - 2 s t

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Questão 49

5. Dada uma função diferenciável f : R 3 → R tal que ∂ f ∂ x x , y , z = y z , ∂ f ∂ y x , y , z = x z e ∂ f ∂ z x , y , z = x y . Sabendo que x = t 2 , y = ln ⁡ t e z = e 2 t , calcule d f d t para t = 2 .

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Questão 50

Considere a função

u = u x , y , z = x 2 - y z

Em que

x = x p , r , θ = p r sen ⁡ θ

y = y p , r , θ = p r cos ⁡ θ

z = z p , r , θ = p - 2 r

Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais ∂ u ∂ p ,   ∂ u ∂ r e ∂ u ∂ θ , para p = 3 , r = 2 e θ = 0 .

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Questão 51

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 2 em R 2 e considere a função g : R 2 → R dada por

g s , t = s f 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t .

a) Determine, em função das derivadas parciais de f , as derivadas δ g δ s s , t e δ δ s δ g δ t s , t .

b) Calcule δ 2 g δ t δ s - 1,1 , sabendo que

∇ f 4,3 = 3 2 , 4 2 ,       δ 2 f δ x 2 4,3 = 2 ,       δ 2 f δ y 2 4,3 = 1 ,       e     δ 2 f δ x δ y 4,3 = - 4  

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Questão 52

Seja f : R 2 → R ,   x , y → f ( x , y ) e sejam f x x , y e f y ( x , y ) as derivadas parciais de f .

Seja h : R 2 → R 2 ,   u ,   v → h u , v = x u , v ,   y u , v , onde x u , v = e u cos ⁡ v e y u , v = - e u s e n ( v )

Considere a composta g u , v = f ∘ h u , v = f x u , v ,   y u , v .

a) Assuma ∂ g ∂ y 0,0 = g u 0,0 = 1 e ∂ g ∂ v 0,0 = g v 0,0 = - 1

Calcule f x 1,0   e   f y 1,0 e calcule ∇ f 1,0 .

b) Agora assuma que f x 1,0 = 3 e f y 1,0 = 4

Calcule g u 0,0 e g v ( 0,0 ) e calcule ∇ g 0,0 .

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Questão 53

Dada uma função f x , y de classe C 2 , defina g r , θ = r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ .

a) Expresse g r r r , θ em termos das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que f 0,0 = 1 , determine g r r 0 , θ para um valor arbitrário de θ .

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Questão 54

Considere a função

f x , y = x y e x y

Considere as funções reais x ( u , v ) e y ( u , v ) satisfazendo

x 0,0 = 1

y 0,0 = 0

x u 0,0 = - 1

y u 0,0 = 2

Considere a composta

g u , v = f x u , v , y u , v

Calcule g u ( 0,0 ) .

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Questão 55

Sendo f ( u ,   v ,   w ) diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , use a regra da Cadeia para concluir que ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0 .

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Questão 56

  1. Dada a função

z = e x y sin ⁡ y

Tomando x = s + 2 t e y = s / t 3 podemos considerar a função z s , t .

Use a regra da cadeia para encontrar ∂ z / ∂ t 0,1 .

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Questão 57

Seja f x , y = 4 e x ln ⁡ y , x u , v = ln ⁡ u c o s v , e y u , v = u s e n v . Se F u , v = f x u , v ,   y u , v , então as derivadas parciais de F em 2 , π 4 são:

  1. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = 2 2 ln ⁡ 2 + 2
  2. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  3. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 4
  4. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  5. Não sei

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Questão 58

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Questão 59

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação

cos ⁡ x y z = x + y + z

  1. Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .
  2. Sabendo que x = u + v e y = e u v , use a regra da cadeia para calcular ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve ser dada em termos de u ,   v   e z apenas.

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Questão 60

Considere a função f ( x ,   y ,   z ) = x + y e z e a curva σ ( t ) = ( t ,   t ² + 1 ,   t - t ³ ) . O valor de ( f ° σ ) ’ ( 1 ) é:

Escolha uma opção:

  1. -1
  2. 7
  3. 5
  4. 0

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Questão 61

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

  1. Sejam x u , v , y u , v funções diferenciáveis satisfazendo:

    2. x 0,0 = 0           ,           y 0,0 = 2

    x u 0,0 = 1           ,           y u 0,0 = 2

    x v 0,0 = 2           ,           y v 0,0 = 3

    Considere a função composta

    g u , v = f x u , v , y u , v

    Calcule o gradiente de g no ponto u , v = 0,0

  2. Considere a seguinte curva de nível:

C = u , v ∈ R 2 g u , v = - 1

Escreva a equação paramétrica da reta normal à curva C no ponto u , v = 0,0

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Questão 62

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y ( 0,0 ) = 3 , f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores das derivadas parciais g x 0,0 e g y 0,0 são respectivamente:

  1. 13   e 10
  2. 6   e 9
  3. 6   e 2
  4. - 5   e 2
  5. Não sei

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Questão 63

Se

u = x m f y x , x z , z x

f diferenciável em R 3 , mostre que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z = m u

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Questão 64

Mostre que

  1. Se g x , y = f r , onde r x , y = x 2 + y 2 , então,

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = 2 r f ' r

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Questão 65

Questão 4. Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v e ∂ z ∂ w quando u = 1 , v = 2 e w = 1 , em que z = x + 3 y 2 , x = 2 u v - 2 w 3 e y = v e u .

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Questão 66

Use a Regra da Cadeia para obter f ' ( t ) em termos apenas de t quando f x , y , t = x 2 + y e 3 t , x t = ln ⁡ t , y t = s e n ( t ) .

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Caso AvançadoLista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Caso Escalar R²Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

Coeficiente LinearFórmula do x e y do vérticeDomínio, contradomínio e ImagemEquação da ParábolaPrimitivasEquação da ElipseTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela