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Exercícios de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v e ∂ f ∂ w para u , v , w = 1,1 , 1

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Questão 2

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

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Questão 3

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )

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Questão 4

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

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Questão 5

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Questão 6

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

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Questão 7

Seja

w = g ( x , y )

x = h r , s , t

y = k r , s , t

Escreva a fórmula da regra da cadeia para ∂ w ∂ s

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Questão 8

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

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Questão 9

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

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Questão 10

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

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Questão 11

Seja z = 4 e x ln ⁡ y ,onde

x = ln ⁡ u cos ⁡ v               e               y = u   s e n   v

Calcule ∂ z ∂ v quando u = 2 e v = π 4 .

  1. 4 2 1 - ln ⁡ 2
  2. - 4 2 1 + ln ⁡ 2
  3. 4 2 1 + ln ⁡ 2
  4. 2 1 + ln ⁡ 2
  5. nenhuma das outras alternativas

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Questão 12

Seja f : R 2 → R   ,   f = f ( x , y ) , uma função de classe C 2 e defina

g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v

  1. Determine δ 2 g δ u δ v em termos da função f e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  2. Se 2 x + 4 y + 3 z = 4 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,2 , f 0,2 , determine f 0,2 ,   ∇ f 0,2   e   ∇ g 1,1 .
  3. Sabendo que δ 2 f δ x 2 0,2 = 2 ,   δ 2 f δ y 2 0,2 = 4 e que   δ 2 f δ x δ y 0,2 = 1 , calcule δ 2 g δ u δ v 1,1 .

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Questão 13

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

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Questão 14

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

b) f x ,   y = 1 + x 2 - y 2 onde x u ,   v = u - v e y u ,   v = u + v .

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Questão 15

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

c) f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2 onde x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v .

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Questão 16

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v .

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Questão 17

O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que w = f ( x , y ) com y = x ² . Pela regra da cadeia:

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ x     →     ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x + 2 x ∂ w ∂ y

Assim, 0 = 2 x ∂ w ∂ y , de modo que ∂ w ∂ y = 0 ”

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Questão 18

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

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Questão 19

Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente por

u = x 2 + y 2 v = x y

a)Mostre que δ y δ u = - y x δ x δ u  

b)Suponha que x δ f δ x - y δ f δ y = 0 . Calcule δ g δ u .

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Questão 20

Calcule ∂ w ∂ r e ∂ w ∂ t para

w = x y + y z + x z

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

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Questão 21

Seja

f x , y = e 4 - x 2 - y ²

a) Calcule o vetor gradiente da função f no ponto P(1,1).

b) Calcule a derivada direcional da função f no ponto (1,1) e na direção do vetor v = - 1,2 .

c) Determine a direção segundo a qual D v f ( 1,1 ) é máxima e determine a taxa máxima nesse ponto.

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Questão 22

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f 1,0 = 2 , ∂ f ∂ x 1,0 = 1 e ∂ f ∂ y 1,0 = 2 . Seja

g u , v = f u + cos ⁡ v , u - v 2

Quanto valem ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 , respectivamente?

a 6 e - 2 ;

b 4 e - 8 ;

c 3 e - 2 ;

d 12 e - 8 ;

e 6 e - 4 .

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Questão 23

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y 0,0 = 3 e f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores de g x ( 0,0 ) e g y 0,0 são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

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Questão 24

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t quando z = s e n 3 θ - c o s ϕ ; θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t

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Questão 25

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação e z = x y z .

a) Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

b) Se x = 1 + 3 v e y = 2 u + v , determine ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve depender apenas de u , v e z .

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Questão 26

  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .

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Questão 27

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Defina

ϕ s , t = f x s , t , y s , t

Onde

x = x s , t = s t

y = y s , t = t s

Calcule

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t

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Questão 28

Considere g : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R ² ∕ { ( 0,0 ) }   onde:

g u , v = x u , v , y u , v

Com

x u , v = u u 2 + v 2

y u , v = - v u 2 + v 2

Sendo

u 2 + v ² ≠ 0

Seja f : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R   ; ( x , y ) → f ( x , y )  

Consiere a composta:

h u , v = f g u , v

  1. Calcule as derivadas parciais x u ,   x v ,   y u ,   y v num ponto ( u , v ) com u 2 + v ² ≠ 0
  2. Assuma f x 1 2 ,   - 1 2 = 3 e f y 1 2 ,   - 1 2 = 4 . Calcule h u ( 1,1 )
  3. Assuma h u 1,0 = 2 e h v 1,0 = 3 . Calcule f x 1 ,   0 e f y 1 ,   0

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Questão 29

Considere f x ,   y = x sen ⁡ x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  1. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 e ∂ y ∂ r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então ∂ g ∂ r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

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Questão 30

Questão 2: Se g t , t ∈ R , é uma função de classe C 1 e definimos a função

h : R 2 → R

x ,   y → x y   g sin ⁡ x y

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto x ,   y do plano vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

x ∂ h ∂ x x ,   y - y ∂ h ∂ y x ,   y = 0

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Questão 31

Encontre ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t para

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

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Questão 32

Considere uma função de três variáveis z = f ( x , y , z ) .

Seja z = sen ⁡ ( x y ) + x . sen ⁡ ( y )

Encontre ∂ z ∂ u quando u = 0 ; v = 1 ; x = u 2 + v 2 e y = u . v

  1. 1
  2. - 2
  3. 0
  4. 2
  5. - 1

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Questão 33

Sejam u x , y , z = x + y y + z ,   x p , r , t = p + 3 r + 4 t ,     y p , r , t = p - 3 r + 4 t   e z p , r , t = p + 3 r - 4 t . Utilizando a regra da cadeia, ∂ u ∂ p   vale:

  1. - 3 t p 3
  2. - 12 t p 2
  3. 12 t p 2 + t  
  4. - 4 t p 2
  5. 4 t p

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Questão 34

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e b ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Questão 35

Seja

F u , v = f x u , v , y u , v ,   v > 0

em que

x u , v = u 2 + v 2 2 ,                   y u , v = u v

a) Calcule F u e F v em função de u , v , f x e f y .

b) Calcule f x e f y em função u , v , F u e F v .

c) Suponha, agora, que F u , v = v . Descubra a constante c que satisfaz:

2 x y f x + 1 + y 2 f y = c

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Questão 36

Suponha que w x , y , z = x 3 f z x , y x onde x ≠ 0 e f : R 2 → R é uma função diferenciável. Mostre que

x ∂ w ∂ x x , y , z + y ∂ w ∂ y x , y , z + z ∂ w ∂ z x , y , z = 3 w x , y , z

Para todo x , y , z ∈ R 3 , com x ≠ 0

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Questão 37

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

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Questão 38

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se z : R 2 → R é uma função de classe C 1 no plano que satisfaz a equação

z x , y + z y , x = 1

Então as suas derivadas parciais satisfazem a equação

∂ z ∂ x x , y + ∂ z ∂ y y , x = 0

OBS:

Essa questão tem um pequeno erro, a derivada de y na prova que achamos está x , y mas durante a resolução percebemos que na verdade ela deveria ser como está escrito, caso contrário não daria certo.

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Questão 39

Seja F x , y uma função diferenciável tal que F 1,1 = 1 , ∂ F ∂ x 1,1 = 2 e ∂ F ∂ y 1,1 = 3 . Considere G x , y = F F x , y , F x , y . O que podemos afirmar sobre ∇ G 1,1 ?

a ∇ G 1,1 faz ângulo de 10 graus com ∇ F 1,1

b ∇ G 1,1 é ortogonal a ∇ F 1,1

c ∇ G 1,1 é paralelo a ∇ F 1,1

d ∇ G 1,1 faz ângulo de 45 graus com ∇ F 1,1

e ∇ G 1,1 faz ângulo de 30 graus com ∇ F 1,1

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Questão 40

Considere as funções f x , y , z = x y + z , x r , θ , ϕ = r c o s θ s e n ϕ   , y r , θ , ϕ = r s e n θ s e n ϕ   e z r , θ , ϕ = r c o s ϕ . Defina F r , θ , ϕ = f   x r , θ , ϕ , y r , θ , ϕ , z r , θ , ϕ . Calcule ∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2

a) - 1

b) - π 2

c) 1

d) π 2

e) 0

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Questão 41

Seja z = f x , y e

g x , y = ∂ 2 z ∂ u 2 x , y + ∂ 2 z ∂ u ∂ v x , y

definidas para 0 ≤ x ≤ 1 e y ≥ 0 . Sabe-se que:

i )   y ∂ z ∂ y x , y + y ∂ 2 z ∂ y 2 x , y = 2                   i i )   x v = sin 2 ⁡ v       e       y u = e u

  1. Determine a expressão de g ( x , y ) em função de x ,   y e as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z em relação às variáveis x e y .
  2. Determine g ( 1,50 ) .

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Questão 42

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável em todos os pontos de R 2 e

g u , v = f u + cos ⁡ v , sen ⁡ u + v

Considere a seguinte tabela de valores:

Quanto valem g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) , respectivamente?

  1. 5   e   3
  2. 3   e - 2
  3. 5   e   1
  4. 2   e - 1
  5. - 1   e   2

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Questão 43

Sejam z = 3 x y - 4 y 2 , x = 2 s e r ,   y = r e - s . Determine ∂ 2 f ∂ r 2 e ∂ f ∂ s ∂ r de duas maneiras:

  1. Usando a regra da cadeia

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Questão 44

Considere o elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

  1. Numa vizinhança de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 , suponha que conseguimos descrever o elipsoide como o gráfico de uma função diferenciável, isto é, escrever z = f ( x , y ) .

    2. Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

  2. Nas mesmas condições do item anterior, considere x = 1 + r cos ⁡ θ e y = 3 2 + r sen ⁡ θ . Determine ∂ z ∂ r e ∂ z ∂ θ para r , θ = 0 , π 6 .

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Questão 45

Seja

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Com

1 - x e 1 - y - x e y > 0

Seja

x u , v = 1 - u + v 3

y u , v = 1 - u - v 3

Considere g u , v = f x u , v ,   y u , v .

Calcule ∂ g ∂ v u 0 , v 0 , onde u 0 = 1 2 1 + 1 2 3 e v 0 = 1 2 1 - 1 2 3

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Questão 46

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Sejam

x r , θ = r cos ⁡ θ

y r , θ = r sen ⁡ θ

E

z r , θ = f x r , θ , y ( r , θ )

Suponha que ∂ z ∂ r = 2 e ∂ z ∂ θ = 0 no ponto r 0 , θ 0 = 2 , π 4 . Então,

3 ∂ f ∂ x 1,1 + 2 ∂ f ∂ y 1,1 =

  1. 10
  2. 5
  3. 2
  4. 1 5
  5. 10 2

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Questão 47

Sejam f   : R 2 → R uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 e g x , y = f ( f x , y , y ) . Sabendo que

∇ f 0,0 = ( 2,3 )

∇ f 1,0 = ( 3,2 )

Podemos afirmar que

  1. ∇ g 0,0 = ( 11,6 )
  2. ∇ g 0,0 = ( 6,6 )
  3. ∇ g 0,0 = ( 9,8 )
  4. ∇ g 0,0 = ( 6,11 )
  5. ∇ g 0,0 = ( 9,6 )

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Questão 48

Questão 2 – Na função abaixo, use a Regra da Cadeia para determinar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

z = arcsin ⁡ x - y ,     x = s 2 + t 2 ,     y = 1 - 2 s t

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Questão 49

5. Dada uma função diferenciável f : R 3 → R tal que ∂ f ∂ x x , y , z = y z , ∂ f ∂ y x , y , z = x z e ∂ f ∂ z x , y , z = x y . Sabendo que x = t 2 , y = ln ⁡ t e z = e 2 t , calcule d f d t para t = 2 .

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Questão 50

Considere a função

u = u x , y , z = x 2 - y z

Em que

x = x p , r , θ = p r sen ⁡ θ

y = y p , r , θ = p r cos ⁡ θ

z = z p , r , θ = p - 2 r

Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais ∂ u ∂ p ,   ∂ u ∂ r e ∂ u ∂ θ , para p = 3 , r = 2 e θ = 0 .

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Questão 51

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 2 em R 2 e considere a função g : R 2 → R dada por

g s , t = s f 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t .

a) Determine, em função das derivadas parciais de f , as derivadas δ g δ s s , t e δ δ s δ g δ t s , t .

b) Calcule δ 2 g δ t δ s - 1,1 , sabendo que

∇ f 4,3 = 3 2 , 4 2 ,       δ 2 f δ x 2 4,3 = 2 ,       δ 2 f δ y 2 4,3 = 1 ,       e     δ 2 f δ x δ y 4,3 = - 4  

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Questão 52

Seja f : R 2 → R ,   x , y → f ( x , y ) e sejam f x x , y e f y ( x , y ) as derivadas parciais de f .

Seja h : R 2 → R 2 ,   u ,   v → h u , v = x u , v ,   y u , v , onde x u , v = e u cos ⁡ v e y u , v = - e u s e n ( v )

Considere a composta g u , v = f ∘ h u , v = f x u , v ,   y u , v .

a) Assuma ∂ g ∂ y 0,0 = g u 0,0 = 1 e ∂ g ∂ v 0,0 = g v 0,0 = - 1

Calcule f x 1,0   e   f y 1,0 e calcule ∇ f 1,0 .

b) Agora assuma que f x 1,0 = 3 e f y 1,0 = 4

Calcule g u 0,0 e g v ( 0,0 ) e calcule ∇ g 0,0 .

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Questão 53

Dada uma função f x , y de classe C 2 , defina g r , θ = r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ .

a) Expresse g r r r , θ em termos das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que f 0,0 = 1 , determine g r r 0 , θ para um valor arbitrário de θ .

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Questão 54

Considere a função

f x , y = x y e x y

Considere as funções reais x ( u , v ) e y ( u , v ) satisfazendo

x 0,0 = 1

y 0,0 = 0

x u 0,0 = - 1

y u 0,0 = 2

Considere a composta

g u , v = f x u , v , y u , v

Calcule g u ( 0,0 ) .

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Questão 55

Sendo f ( u ,   v ,   w ) diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , use a regra da Cadeia para concluir que ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0 .

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Questão 56

  1. Dada a função

z = e x y sin ⁡ y

Tomando x = s + 2 t e y = s / t 3 podemos considerar a função z s , t .

Use a regra da cadeia para encontrar ∂ z / ∂ t 0,1 .

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Questão 57

Seja f x , y = 4 e x ln ⁡ y , x u , v = ln ⁡ u c o s v , e y u , v = u s e n v . Se F u , v = f x u , v ,   y u , v , então as derivadas parciais de F em 2 , π 4 são:

  1. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = 2 2 ln ⁡ 2 + 2
  2. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  3. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 4
  4. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  5. Não sei

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Questão 58

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Questão 59

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação

cos ⁡ x y z = x + y + z

  1. Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .
  2. Sabendo que x = u + v e y = e u v , use a regra da cadeia para calcular ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve ser dada em termos de u ,   v   e z apenas.

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Questão 60

Considere a função f ( x ,   y ,   z ) = x + y e z e a curva σ ( t ) = ( t ,   t ² + 1 ,   t - t ³ ) . O valor de ( f ° σ ) ’ ( 1 ) é:

Escolha uma opção:

  1. -1
  2. 7
  3. 5
  4. 0

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Questão 61

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

  1. Sejam x u , v , y u , v funções diferenciáveis satisfazendo:

    2. x 0,0 = 0           ,           y 0,0 = 2

    x u 0,0 = 1           ,           y u 0,0 = 2

    x v 0,0 = 2           ,           y v 0,0 = 3

    Considere a função composta

    g u , v = f x u , v , y u , v

    Calcule o gradiente de g no ponto u , v = 0,0

  2. Considere a seguinte curva de nível:

C = u , v ∈ R 2 g u , v = - 1

Escreva a equação paramétrica da reta normal à curva C no ponto u , v = 0,0

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Questão 62

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y ( 0,0 ) = 3 , f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores das derivadas parciais g x 0,0 e g y 0,0 são respectivamente:

  1. 13   e 10
  2. 6   e 9
  3. 6   e 2
  4. - 5   e 2
  5. Não sei

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Questão 63

Se

u = x m f y x , x z , z x

f diferenciável em R 3 , mostre que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z = m u

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Questão 64

Mostre que

  1. Se g x , y = f r , onde r x , y = x 2 + y 2 , então,

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = 2 r f ' r

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Questão 65

Questão 4. Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v e ∂ z ∂ w quando u = 1 , v = 2 e w = 1 , em que z = x + 3 y 2 , x = 2 u v - 2 w 3 e y = v e u .

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Questão 66

Use a Regra da Cadeia para obter f ' ( t ) em termos apenas de t quando f x , y , t = x 2 + y e 3 t , x t = ln ⁡ t , y t = s e n ( t ) .

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

Multiplicação de Potências da Mesma BasePrimitivasEquação da ElipseCoeficiente LinearDiagrama De VennFórmula do x e y do vérticeTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela