Utilize as Equações 7 para determinar ∂z / ∂x e ∂z / ∂y .

y * z = ln(x + z)

Passo 1

Oie, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade hoje, tudo bem?!

Certas questões pedem que calculemos determinadas derivadas, parciais ou não. Todavia, a função nem sempre está definida explicitamente. Para resolver esse problema, usamos o Teorema da Função Implícita, que possui as pelas tais equações 7 do enunciado:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

E

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Veja que ele nos permite encontrar as derivadas parciais de funções de mais de uma variável, e é isso que iremos fazer aqui com a função:

y z = ln ⁡ x + z

Passo 2

Nessa questão, temos de determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y . Como a função não está definida explicitamente, usamos como ferramenta o Teorema da Função Implícita. Iremos transformar nossa equação:

y z = ln ⁡ ( x + z )  

Em uma função de 3 variáveis.

Chamamos de:

F x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

A nossa equação.

E iremos atras de F x , para isso deveremos derivar apenas em relação a x e considerar todas as outras variáveis constantes, mas veja que precisaremos aplicar a regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de funções:

A regra da cadeia é a seguinte:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

Derivando:

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x + z - ∂ ∂ x y z

Derivando e aplicando a regra da cadeia, lembrando que ln ⁡ x ' = 1 x :

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x x + z ⋅ ∂ ∂ x ln ⁡ g x - 0

Teremos então:

∂ F ∂ x =   1 x + z ⋅ 1

Finalmente:

∂ F ∂ x =   1 x + z

Passo 3

Agora iremos encontrar F y :

F x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

Derivando novamente aplicando a regra da cadeia:

F y = ∂ ( ln ⁡ x + z ∂ y - ∂ y z ∂ y

Temos então:

∂ F ∂ y = ∂ ∂ y x + z ⋅ ∂ ∂ y ln ⁡ g y - ∂ y z ∂ y

Como resultado a gente encontra:

∂ F ∂ y = - z

Passo 4

e agora a gente precisa encontrar F z :

F x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

De forma semelhante com as outras, derivando parcialmente e aplicando a regra da cadeia:

F z = ∂ ln ⁡ x + z ∂ z - ∂ y z ∂ z

Aplicando a regra da cadeia:

∂ F ∂ z = ∂ ∂ z x + z ⋅ ∂ ∂ z ln ⁡ g z - ∂ y z ∂ z

Teremos então como resultado:

∂ F ∂ z = 1 x + z - y

Passo 5

Portanto, temos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

Agora a gente substitui o que encontramos:

d z d x = - - 1 x + z y x + z - 1 x + z

Realizando a divisão de frações:

d z d x = 1 y x + z - 1

E agora para d z d y :

d z d y = - z y x + z - 1 x + z

Realizando a divisão de frações:

d z d y = - z x + z y x + z - 1

Resposta

d z d y = - z x + z y x + z - 1

d z d x = 1 y x + z - 1

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