Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 34
Utilize as Equações para determinar e .
Passo 1
Oie, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade hoje, tudo bem?!
Certas questões pedem que calculemos determinadas derivadas, parciais ou não. Todavia, a função nem sempre está definida explicitamente. Para resolver esse problema, usamos o Teorema da Função Implícita, que possui as pelas tais equações do enunciado:
E
Veja que ele nos permite encontrar as derivadas parciais de funções de mais de uma variável, e é isso que iremos fazer aqui com a função:
Passo 2
Nessa questão, temos de determinar e . Como a função não está definida explicitamente, usamos como ferramenta o Teorema da Função Implícita. Iremos transformar nossa equação:
Em uma função de variáveis.
Chamamos de:
A nossa equação.
E iremos atras de , para isso deveremos derivar apenas em relação a e considerar todas as outras variáveis constantes, mas veja que precisaremos aplicar a regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de funções:
A regra da cadeia é a seguinte:
Derivando:
Derivando e aplicando a regra da cadeia, lembrando que :
Teremos então:
Finalmente:
Passo 3
Agora iremos encontrar :
Derivando novamente aplicando a regra da cadeia:
Temos então:
Como resultado a gente encontra:
Passo 4
e agora a gente precisa encontrar
De forma semelhante com as outras, derivando parcialmente e aplicando a regra da cadeia:
Aplicando a regra da cadeia:
Teremos então como resultado:
Passo 5
Portanto, temos:
Agora a gente substitui o que encontramos:
Realizando a divisão de frações:
E agora para :
Realizando a divisão de frações: