Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 22
Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força para mover uma partícula do ponto para o ponto de ao longo de uma curva é de e do trabalho realizado por em mover a partícula ao longo de outra curva entre os mesmos dois pontos é de . O que você pode dizer sobre ? Por quê?
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão conta uma historinha pra gente, falando basicamente que o trabalho necessário pra um campo mover uma partícula entre dois pontos é por um caminho e por outro caminho. E pergunta o que podemos dizer sobre esse campo!
Vamos precisar lembrar dois conceitos pra resolver isso.
Primeiro: o trabalho realizado por um campo vetorial em um caminho é dado por:
Segundo: se um campo vetorial for conservativo, e duas curvas tiverem mesmo ponto inicial e final, temos que:
Já que a integral de campos conservativos não depende do caminho, só dos pontos de início e fim.
Passo 2
Bom, no caso do nosso problema, temos que:
Onde e são dois caminhos diferentes com ponto inicial e ponto final .
Vamos supor que é conservativo. Então:
Só que isso nos levaria a:
O que claramente não é verdade, né? Haha
Então concluímos que não pode ser conservativo, e, portanto, a integral de linha desse campo depende do caminho.
Resposta
não é conservativo, e, portanto, a integral de linha desse campo depende do caminho.