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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 33

Utilize as Equações 7 para determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y

x - z = a r c t g ⁡ ( y z )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

A questão dá pra gente uma função implícita z e pede as derivadas parciais dela em x e y , mas como encontrar elas? Assim como o enunciado sugere, nós vamos usar o Teorema da Função Implícita!

O teorema diz que se temos uma função implícita z = f ( x , y ) na forma F x ,   y ,   z = 0 nós podemos definir as derivadas parciais de f como:

∂ z ∂ x = -   ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ z ∂ y = -   ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Dessa forma, só precisamos adaptar nossa função para essas fórmulas e calcular!

Passo 2

Reescrevendo nossa função no formato F x ,   y ,   z = 0 temos

F x ,   y ,   z = a r c t g ⁡ ( y z )   - x + z

Dessa forma, para encontrar ∂ z ∂ x precisamos definir ∂ F ∂ x e ∂ F ∂ z !

Encontrando ∂ F ∂ x :

∂ F ∂ x = d arctg ⁡ y z - x + z d x

∂ F ∂ x = - 1

Encontrando ∂ F ∂ z :

∂ F ∂ z = d arctg ⁡ y z - x + z d z

∂ F ∂ z = d arctg ⁡ y z d z - 0 + d z d z

Que pode ser resolvido com a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Então no nosso caso temos:

d arctg ⁡ y z d z = d arctg ⁡ ( u ) d u ⋅ d y z d z  

De forma que o resultado final é

∂ F ∂ z = 1 1 + y ² z ² . y + 1

∂ F ∂ z = y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

Substituindo na expressão da derivada parcial em x nós temos

∂ z ∂ x = -   - 1 y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

𝜕𝑧���𝑥= 1+𝑦²𝑧²𝑦+1+𝑦²𝑧²

Passo 3

Encontrando ∂ F ∂ y :

∂ F ∂ y = d arctg ⁡ y z - x + z d y

Que pode ser resolvido com uma regra da cadeia similar à anterior, poupando nosso trabalho!

∂ F ∂ y = z 1 + y ² z ²

E como já encontramos o valor de ∂ F ∂ z , já podemos substituir na expressão da derivada parcial em y !

∂ z ∂ y = - z 1 + y ² z ² y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

∂ z ∂ y = - z y + 1 + y ² z ²

Resposta

∂ z ∂ x = -   - 1 y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

∂ z ∂ y = - z y + 1 + y ² z ²

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Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g r , s = f ( 2 r - s , s 2 - 4 r ) . Use a tabela de valores para determinar g r ( 1 ,2 ) e g s ( 1 ,2 ) .
Use um diagrama de árvore para escrever a Regra da Cadeia em cada caso. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. u = f x , y onde x = x r , s , t e y = y r , s , t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. w = f x , y , z Onde x = x u , v y = y u , v z = z u , v
17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19 – w = f r , s , t , onde r = r ( x , y ) , s = s ( x , y )
17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.20 – t = f u , v , w , onde u = u p , q , r , s , v = v ( p ,