Utilize as Equações 7 para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y

x - z = a * r * c * t * g (y * z)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

A questão dá pra gente uma função implícita z e pede as derivadas parciais dela em x e y , mas como encontrar elas? Assim como o enunciado sugere, nós vamos usar o Teorema da Função Implícita!

O teorema diz que se temos uma função implícita z = f ( x , y ) na forma F x ,   y ,   z = 0 nós podemos definir as derivadas parciais de f como:

∂ z ∂ x = -   ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ z ∂ y = -   ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Dessa forma, só precisamos adaptar nossa função para essas fórmulas e calcular!

Passo 2

Reescrevendo nossa função no formato F x ,   y ,   z = 0 temos

F x ,   y ,   z = a r c t g ⁡ ( y z )   - x + z

Dessa forma, para encontrar ∂ z ∂ x precisamos definir ∂ F ∂ x e ∂ F ∂ z !

Encontrando ∂ F ∂ x :

∂ F ∂ x = d arctg ⁡ y z - x + z d x

∂ F ∂ x = - 1

Encontrando ∂ F ∂ z :

∂ F ∂ z = d arctg ⁡ y z - x + z d z

∂ F ∂ z = d arctg ⁡ y z d z - 0 + d z d z

Que pode ser resolvido com a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Então no nosso caso temos:

d arctg ⁡ y z d z = d arctg ⁡ ( u ) d u ⋅ d y z d z  

De forma que o resultado final é

∂ F ∂ z = 1 1 + y ² z ² . y + 1

∂ F ∂ z = y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

Substituindo na expressão da derivada parcial em x nós temos

∂ z ∂ x = -   - 1 y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

𝜕𝑧���𝑥= 1+𝑦²𝑧²𝑦+1+𝑦²𝑧²

Passo 3

Encontrando ∂ F ∂ y :

∂ F ∂ y = d arctg ⁡ y z - x + z d y

Que pode ser resolvido com uma regra da cadeia similar à anterior, poupando nosso trabalho!

∂ F ∂ y = z 1 + y ² z ²

E como já encontramos o valor de ∂ F ∂ z , já podemos substituir na expressão da derivada parcial em y !

∂ z ∂ y = - z 1 + y ² z ² y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

∂ z ∂ y = - z y + 1 + y ² z ²

Resposta

∂ z ∂ x = -   - 1 y + 1 + y ² z ² 1 + y ² z ²

∂ z ∂ y = - z y + 1 + y ² z ²

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