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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 32

Utilize as Equações 7 para determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

x y z = cos ⁡ x + y + z

Passo 1

Certas questões pedem que calculemos determinadas derivadas, parciais ou não. Todavia, a função nem sempre está definida explicitamente. Para resolver esse problema, usamos o Teorema da Função Implícita, que possui as pelas tais equações 7 do enunciado:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

E

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Veja que ele nos permite encontrar as derivadas parciais de funções de mais de uma variável, e é isso que iremos fazer aqui com a função:

x y z = cos ⁡ x + y + z

Passo 2

Nessa questão, temos de determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y . Como a função não está definida explicitamente, usamos como ferramenta o Teorema da Função Implícita.

x y z = c o s ⁡ ( x + y + z )

Chamamos de F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

E agora iremos aplicar a equação:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

E

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Vamos derivar em relação a x :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

F x = ∂ ∂ x cos ⁡ x + y + z - x y z

Derivando apenas em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F x = - sin ⁡ x + y + z - y z

Agora iremos encontrar F y :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

Derivando apenas em relação a y e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F y = ∂ ∂ y cos ⁡ x + y + z - x y z

F y = - sin ⁡ x + y + z - x z

Agora falta apenas encontrarmos F z :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

Derivando apenas em relação a z e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F z = ∂ ∂ z cos ⁡ x + y + z - x y z

F z = - sin ⁡ x + y + z - x y

Agora podemos substituir e encontrar o que precisamos.

Passo 3

Encontramos:

∂ F ∂ x = - s e n x + y + z - y z

∂ F ∂ y = - s e n x + y + z - x z

∂ F ∂ z = - s e n x + y + z - x y

Portanto, temos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z =   s e n x + y + z + y z - s e n x + y + z - x y

∂ z ∂ y = -   ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = s e n x + y + z + x z - s e n x + y + z - x y

Resposta

∂ z ∂ x =   s e n x + y + z + y z - s e n x + y + z - x y   ;   ∂ z ∂ y = s e n x + y + z + x z - s e n x + y + z - x y

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