Utilize as Equações 7 para determinar ∂z / ∂x e ∂z / ∂y .

xyz = cos(x + y + z)

Passo 1

Certas questões pedem que calculemos determinadas derivadas, parciais ou não. Todavia, a função nem sempre está definida explicitamente. Para resolver esse problema, usamos o Teorema da Função Implícita, que possui as pelas tais equações 7 do enunciado:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

E

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Veja que ele nos permite encontrar as derivadas parciais de funções de mais de uma variável, e é isso que iremos fazer aqui com a função:

x y z = cos ⁡ x + y + z

Passo 2

Nessa questão, temos de determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y . Como a função não está definida explicitamente, usamos como ferramenta o Teorema da Função Implícita.

x y z = c o s ⁡ ( x + y + z )

Chamamos de F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

E agora iremos aplicar a equação:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

E

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Vamos derivar em relação a x :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

F x = ∂ ∂ x cos ⁡ x + y + z - x y z

Derivando apenas em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F x = - sin ⁡ x + y + z - y z

Agora iremos encontrar F y :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

Derivando apenas em relação a y e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F y = ∂ ∂ y cos ⁡ x + y + z - x y z

F y = - sin ⁡ x + y + z - x z

Agora falta apenas encontrarmos F z :

F x , y , z = c o s   x + y + z   - x y z

Derivando apenas em relação a z e considerando todas as outras variáveis como constantes:

F z = ∂ ∂ z cos ⁡ x + y + z - x y z

F z = - sin ⁡ x + y + z - x y

Agora podemos substituir e encontrar o que precisamos.

Passo 3

Encontramos:

∂ F ∂ x = - s e n x + y + z - y z

∂ F ∂ y = - s e n x + y + z - x z

∂ F ∂ z = - s e n x + y + z - x y

Portanto, temos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z =   s e n x + y + z + y z - s e n x + y + z - x y

∂ z ∂ y = -   ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = s e n x + y + z + x z - s e n x + y + z - x y

Resposta

∂ z ∂ x =   s e n x + y + z + y z - s e n x + y + z - x y   ;   ∂ z ∂ y = s e n x + y + z + x z - s e n x + y + z - x y

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Use a Regra da Cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = e^r * cos(θ) r = s t θ = raiz(s^2 + t^2)
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t .z = tan(u / v) u = 2s + 3t v = 3s - 2t
Se z = f(x, y) , onde f é diferenciável, e x = g(t); y = h(t) g(3) = 2; h(3) = 7 g'(3) = 5; h'(3) = -4 f(x) = 6; f(y) = -8 Determine d z / d t quando t = 3 .
Seja W(s, t) = F(u(s, t), v(s, t)) onde F , u e v são diferenciáveis, e u(1,0) = 2 u_s(1,0) = -2 u_t(1,0) = 6 v(1,0) = 3 v_s(1,0) = 5 v_t(1,0) = 4 F(u)(2,3) = -1 F(v)(2,3) = 10 Encontre W_s(1,0) e W_t
Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g u , v = f ( e u + s e n v , e u + c o sv ) . Use a tabela de valores para determinar g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) .