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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 52

Determine ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y .

(a) z = f x g y

(b) z = f x y

(c) z = f x y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto... queremos determinar as derivadas parciais ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y das seguintes funções genéricas:

z = f x g y

z = f x y

z = f x y

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Aqui é interessante a gente lembrar também da seguinte propriedade das derivadas:

c ⋅ f x ' = c ⋅ f ' x

Onde c é uma constante.

E da Regra da Cadeia:

d y d x = d y d u d u d x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Da primeira função, temos:

z = f x g y

Para determinar ∂ z / ∂ x , a gente fixa g y como constante e deriva f x :

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x f x g y

Aplicando a propriedade que vimos no Passo 1, temos:

∂ z ∂ x = g y ∂ ∂ x f x

Ou também podemos deixar da seguinte forma:

∂ z ∂ x = g y f ' x

Agora, para determinar ∂ z / ∂ y , a gente fixa f x como constante e deriva g y :

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y f x g y

Aplicando a propriedade que vimos no Passo 1, temos:

∂ z ∂ y = f x ∂ ∂ y g y

Ou também podemos deixar da seguinte forma:

∂ z ∂ y = f x g ' y

Passo 3

Na letra (b) queremos derivar z = f x y .

Para isso, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x y

Assim, podemos fazer as derivadas parciais de u utilizando a propriedade que vimos no Passo 1 e aplicando a Regra da Potência:

∂ u ∂ x = y

E

∂ u ∂ y = x

Agora podemos determinar as derivadas de z !!

Passo 4

Com isso, aplicando a Regra da Cadeia para a derivada ∂ z ∂ x , obtemos:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u   ∂ u ∂ x

Fazendo as substituições, temos:

∂ z ∂ x = f ' x y ⋅   y

E, aplicando a Regra da Cadeia para a derivada ∂ z ∂ y , obtemos:

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u   ∂ u ∂ y

Fazendo as substituições, temos:

∂ z ∂ y = f ' x y ⋅   x

Passo 5

Agora, na letra (c), temos a função z = f x y .

Para isso, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x y

Assim, podemos fazer as derivadas parciais de u utilizando a propriedade que vimos no Passo 1 e aplicando a Regra da Potência:

∂ u ∂ x = 1 y

E

∂ u ∂ y = - x y 2

Agora podemos determinar as derivadas de z !!

Passo 6

Com isso, aplicando a Regra da Cadeia para a derivada ∂ z ∂ x , obtemos:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u   ∂ u ∂ x

Fazendo as substituições, temos:

∂ z ∂ x = f ' x y ⋅   x y

E, aplicando a Regra da Cadeia para a derivada ∂ z ∂ y , obtemos:

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u   ∂ u ∂ y

Fazendo as substituições, temos:

∂ z ∂ y = f ' x y ⋅ - x y 2 ∴

∂ z ∂ y = - x y 2 f ' x y

Resposta

(a) ∂ z ∂ x = g y f ' x e ∂ z ∂ y = f x g ' y

(a) ∂ z ∂ x = f ' x y ⋅   y e ∂ z ∂ y = f ' x y ⋅   x

(a) ∂ z ∂ x = f ' x y ⋅   x y e ∂ z ∂ y = - x y 2 f ' x y

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