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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 14

14. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = 1 / x é dada por y n = - 1 n n ! x n + 1

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Derivando a função até que seja possível observar um padrão

y = 1 x

Realizando a primeira derivada

y ' = u ' v - u v ' v 2

Temos

u = 1 e v = x

Para u

u = 1

u ' = 0

Para v '

v = x

v ' = 1

Para v 2

v = x

v 2 = x 2

Passo 3

Agora vamos aplicar na fórmula y '

y ' = 0 ∙ x - 1 ∙ 1 x 2

y ' = - 1 x 2

Passo 4

Realizando a segunda derivada

y ' = u ' v - u v ' v 2

Temos

u = - 1 e v = x 2

Para u

u = - 1

u ' = 0

Para v '

v = x 2

v ' = 2 x

Para v 2

v = x 2

v 2 = x 4

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula y '

y ( 2 ) = 0 ∙ x 2 - - 1 ∙ 2 x x 4

y ( 2 ) = 2 x x 4

y ( 2 ) = 2 x 3

Passo 6

Realizando a terceira derivada

y ' = u ' v - u v ' v 2

Temos

u = 2 e v = x 3

Para u

u = 2

u ' = 0

Para v '

v = x 3

v ' = 3 x 2

Para v 2

v = x 3

v 2 = x 6

Passo 7

Agora vamos aplicar na fórmula y '

y ( 3 ) = 0 ∙ x 3 - 2 ∙ 3 x 2 x 6

Podemos escrever 2 ∙ 3 como 3 !

y ( 3 ) = - 3 ! x 2 x 6

y ( 3 ) = - 3 ! x 4

Reorganizando

y ( 3 ) = - 1 3 ! x 4

Podemos rescrever x 4 de modo que 3   apareça no expoente

x 3 + 1

Se considerarmos o 3 = n

y ( n ) = - 1 n ! x n + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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