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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 9

9. y = sen a x ; n = 7

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Se reescrevermos a derivada com a raiz na forma de expoente, podemos aplicar a regra da cadeia.

y = f (g (x))

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

E lembrando que a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Realizando a primeira derivada, temos

y = sen a x

y^' = cos a x * a

Reorganizando temos

y^' = a cos a x

Passo 4

Agora a segunda derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^' = a cos a x

y = u * v ⟹ y^' = u^' v + u v^'

Onde u = a e v = cos a x

Para u

u = a

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos a x

v^' = - sen a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 2 )) = 0 * cos a x + a * (- sen a x * a)

Realizando as multiplicações

y^(( 2 )) = 0 - a sen a x * a

y^(( 2 )) = - a^2 sen a x

Passo 5

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^(( 2 )) = - a^2 sen a x

Onde u = - a^2 e v = sen a x

Para u

u = - a^2

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = s en a x

v^' = cos a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 3 )) = 0 * s en a x + (- a^2) * cos a x * a

Realizando as multiplicações

y^(( 3 )) = 0 - a^2 co s a x * a

y^(( 3 )) = - a^3 cos a x

Passo 6

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^(( 3 )) = - a^3 cos a x

Onde u = - a^3 e v = cos a x

Para u

u = - a^3

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos a x

v^' = - sen a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 4 )) = 0 * cos a x + (- a^3) * (- sen a x * a)

Realizando as multiplicações

y^(( 4 )) = 0 + a^3 s en a x * a

y^(( 4 )) = a^4 sen a x

Passo 7

Agora a quinta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^(( 4 )) = a^4 s en a x

Onde u = a^4 e v = sen a x

Para u

u = - a^4

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = sen a x

v^' = cos a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 5 )) = 0 * sen a x + a^4 * cos a x * a

Realizando as multiplicações

y^(( 5 )) = 0 + a^4 cos a x * a

y^(( 5 )) = a^5 cos a x

Passo 8

Agora a sexta derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^(( 5 )) = a^5 cos a x

Onde u = a^5 e v = cos a x

Para u

u = a^5

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = cos a x

v^' = - sen a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 6 )) = 0 * co s a x + a^5 * (- s en a x * a)

Realizando as multiplicações

y^(( 6 )) = 0 - a^5 sen a x * a

y^(( 6 )) = - a^6 sen a x

Passo 9

Agora a sétima derivada, onde usaremos também a derivada do produto para y^(( 6 )) = - a^6 sen a x

Onde u = - a^6 e v = sen a x

Para u

u = - a^6

u^' = 0

Para v , usamos a regra da cadeia

v = sen a x

v^' = cos a x * a

Aplicando na fórmula da derivada do produto, temos

y^(( 6 )) = 0 * sen a x + (- a^6) * cos a x * a

Realizando as multiplicações

y^(( 6 )) = 0 - a^6 cos a x * a

y^(( 6 )) = - a^7 cos a x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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